Question

【題目】已知函數(shù)，證明.

（1）存在唯一的極小值點(diǎn)；

（2）的極小值點(diǎn)為則.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并二次求導(dǎo)，即設(shè)，，結(jié)合余弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求出當(dāng)，恒成立，即可判斷出在上的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理可求出在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)，進(jìn)而可證明結(jié)論.

(2)由，，由零點(diǎn)存在定理可得極小值點(diǎn)，進(jìn)而可得，結(jié)合三角恒等變換可得，由正弦三角函數(shù)可求出.

解：（1），設(shè)，則，

當(dāng)時，，所以.

當(dāng)時，，

綜上所述，當(dāng)，恒成立，

故在上單調(diào)遞增.

又，由零點(diǎn)存在定理可知，

函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)，，

結(jié)合單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)存在唯一極小值點(diǎn).

（2）由（1）知，，，

，而，所以，

即，，故極小值點(diǎn)，

且，即，由式，得

.由，

得，所以，即.