Question

【題目】己知函數(shù)f（x）= （其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），h（x）=x﹣ ．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）設(shè)g（x）= ，．已知直線y= 是曲線y=f（x）的切線，且函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（i）求實(shí)數(shù)a的值；
（ii）求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ，

∴ ，

①當(dāng)a＞0時(shí)，

在x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，在x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＞0，

故f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上是減函數(shù)，在（0，2）上是增函數(shù)；

②當(dāng)a＜0時(shí)，

在x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，在x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＜0，

故f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上是增函數(shù)，在（0，2）上是減函數(shù)；

（Ⅱ）（i）對f（x）求導(dǎo)，得 ，

設(shè)直線 與曲線y=f（x）切于點(diǎn)P（x0，y0），

則 解得a=x0=1，∴a=1

（ii）記函數(shù)（x）=f（x）﹣h（x）= ，x＞0，

求導(dǎo)，得 ，

當(dāng)x≥2時(shí)，'（x）＜0恒成立，

當(dāng)0＜x＜2時(shí)， ，

∴ ，

∴'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

又 ， ，

曲線（x）=f（x）﹣h（x）在[1，2]上連續(xù)不間斷，

∴由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知，唯一的x0∈（1，2），使（x0）=0．

∴當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，（x）＞0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，（x）＜0．

∴當(dāng)x＞0時(shí)， =

求導(dǎo)，得

由函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且曲線y=g（x）在（0，+∞）上連續(xù)不斷知：

g'（x）≥0在（0，x0]，（x0，+∞）上恒成立．

①當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)， ﹣2cx≥0在（x0，+∞）上恒成立，

即 在（x0，+∞）上恒成立，

記 ，x＞x0，則 ，x＞x0，

當(dāng) x變化時(shí)，u'（x），u（x）變化情況列表如下：

x	（x0，3）	3	（3，+∞）
u'（x）	﹣	0	+
u（x）	↓	極小值	↑

∴u（x）min=u（x）極小值=u（3）= ，

故“ 在（x0，+∞）上恒成立”，只需2c≤u（x）min= ，即 ．

②當(dāng)x∈（0，x0]時(shí)，g'（x）=1+ ﹣2cx，

當(dāng)c≤0時(shí)，g'（x）＞0在x∈（0，x0]上恒成立，

綜合①②知，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

故實(shí)數(shù)c的取值范圍是

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）（i）根據(jù)切線方程求出a的值即可；（ii）問題轉(zhuǎn)化為 在（x0，+∞）上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出c的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)．