Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=，an+1=Sn+（n∈N*，t為常數(shù)）．

（Ⅰ）若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，求t的值；

（Ⅱ）若t＞﹣4，bn=lgan+1，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)Tn取最小值，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）t=4 (2)

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系求項(xiàng)之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列定義確定，代入，解得t的值；（2）根據(jù)等比數(shù)列定義得a2，a3，a4…an+1成等比數(shù)列，因此數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和取最小值等價(jià)于項(xiàng)b6＜0且b7＞0，代入得不等式，解得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

試題解析：（I）∵

（1）﹣（2）得：an+1=2an（n≥2）

∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，∴

∵，a1=，

∴，∴t=4…（6分）

（II），an+1=2an（n＞1），∴

∵a2，a3，a4…an+1成等比數(shù)列，bn=lgan+1，

∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列

∵數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)，Tn取最小值，∴b6＜0且b7＞0

可得0＜a7＜1且a8＞1，

∴0＜16+4t＜1且32+2t＞1，

∴