Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，△PAD為正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E為棱PB的中點(diǎn) （Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面CDE；
（Ⅱ）若直線PC與平面PAD所成角為45°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取AP的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF， ∵E是PB中點(diǎn)，∴EF AB，∴CD EF，
∴四邊形CDEF為平行四邊形，
∴DF∥CE，
又△PAD 為正三角形，
∴PA⊥DF，從而PA⊥CE，
又PA⊥CD，CD∩CE=C，
∴PA⊥平面CDE，
又PA平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．
解：（Ⅱ）∵AB∥CD，PA⊥CD，
∴PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，
∴∠CPD為PC與平面PAD所成角，即∠CPD=45°，從而CD=AD，
以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，如圖所示，

設(shè)AD=2，則A（0，0，0），B（4，0，0），P（0，1， ），D（0，2，0），E（2， ， ），
∴ =（2， ）， =（0，2，0），
設(shè)平面ADE的法向量 =（x，y，z），
則 ，取z=﹣4，得 =（ ），
由（Ⅰ）知PA⊥平面CDE，∴ =（0，1， ）是平面CDE的一個(gè)法向量，
∴cos＜ ＞= = =﹣ ，
∴二面角A﹣DE﹣C的余弦值為﹣ ．
【解析】（Ⅰ）取AP的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，推導(dǎo)出四邊形CDEF為平行四邊形，從而DF∥CE，由此能證明平面PAB⊥平面CDE．（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的余弦值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用平面與平面垂直的判定，掌握一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直即可以解答此題．