Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓： 的左，右焦點分別為， .點是橢圓在軸上方的動點，且△的周長為16.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點到△三邊的距離均相等.

①當時，求點的坐標；

②求證：點在定橢圓上.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）①；②證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意可得的值，再由隱含條件求得，則橢圓方程可求；（2）①求出點坐標，設(shè)出的坐標，結(jié)合點到三邊的距離均相等列方程組求得點的坐標；②根據(jù)三角形面積以及橢圓的定義列方程組，可得， ，代入橢圓方程可得， 所以點在定橢圓上.

試題解析：（1）依題意， ， ，所以，從而， 故橢圓方程為，（2）①當時， ， 則直線的方程為： ，直線的方程為： ，

所以，且，其中，解得， ，所以點的坐標為；

②設(shè)，則點到△三邊的距離均為，由，

得，其中，所以，則直線的方程為： ，即， 所以，且， 且， 化簡得， ，解得，

將， 代入，得， 所以點在定橢圓上.

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.