Question

（2012•湛江二模）已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A、B，P是雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1右支x軸上方的一點，連接AP交橢圓于點C，連接PB并延長交橢圓于點D．
（1）若a=2b，求橢圓C₁及雙曲線C₂的離心率；
（2）若△ACD和△PCD的面積相等，求點P的坐標（用a，b表示）．

Answer 1

分析：（1）根據a=2b，結合橢圓中，c2=a2-b2=

3

4

a2，雙曲線中，c2=a2+b2=

5

4

a2，即可求得橢圓C₁及雙曲線C₂的離心率；
（2）設P、C的坐標分別為（x₀，y₀），（x₁，y₁），根據△ACD和△PCD的面積相等，可得

-a+x0

2

=x1，

0+y0

2

=y1，分別代入橢圓、雙曲線方程，聯立方程，即可求得點P的坐標．

解答：解：（1）∵a=2b，∴在橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，c2=a2-b2=

3

4

a2
∴橢圓C₁的離心率為e1=

c

a

=

3

2

；
在雙曲線C₂中，c2=a2+b2=

5

4

a2，
∴雙曲線C₂的離心率為e2=

c

a

=

5

2

；
（2）設P、C的坐標分別為（x₀，y₀），（x₁，y₁）
由題意知A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0）
∵△ACD和△PCD的面積相等，
∴|AC|=|PC|
∴

-a+x0

2

=x1，

0+y0

2

=y1
代入橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1得b2x02-2ab2x0+a2b2 +a2y02=4a2b2①
∵P（x₀，y₀）是雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1右支x軸上方的一點，
∴a2y02=b2x02-  a2b2②
②代入①化簡可得x02-  ax0 -2a2=0
∴x₀=2a或-a（舍去）
∴y0=

b2x02-a2b2 a2

=

3

b
∴點P的坐標為（2a，

3

b）．

點評：本題考查橢圓與雙曲線的標準方程與幾何性質，考查學生的計算能力，解題的關鍵是利用△ACD和△PCD的面積相等，尋求坐標之間的關系．