【題目】無窮數(shù)列滿足：，且對(duì)任意正整數(shù)，為前項(xiàng)，，…，中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù).

（1）直接寫出，，，；

（2）求證：該數(shù)列中存在無窮項(xiàng)的值為1；

（3）已知，求.

【答案】（1）；（2）證明見解析過程；

（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意直接求解即可；

（2）運(yùn)用反證法證明即可；

（3）先求出前若干項(xiàng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，分類討論求親解即可.

（1）因?yàn)?/span>，所以由題意可得：；

（2）假設(shè)中只出現(xiàn)有限個(gè)1，當(dāng)妨設(shè)最后出現(xiàn)1的項(xiàng)是第項(xiàng)，即.

當(dāng)時(shí)，顯然，若是數(shù)列中，最大的項(xiàng)，所以數(shù)列中存在無數(shù)項(xiàng)是相等的，不妨設(shè)下標(biāo)由小及大的這些項(xiàng)為：，

設(shè)數(shù)列中，等于的項(xiàng)共有項(xiàng)，到，所以有

，這與相矛盾，故假設(shè)中只出現(xiàn)有限個(gè)1不成立，即該數(shù)列中存在無窮項(xiàng)的值為1；

（3）通過計(jì)算可求出數(shù)列前30項(xiàng)值如下：

通過上表可知：從第11項(xiàng)起有以下規(guī)律：

，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

；

當(dāng)時(shí)，

；

當(dāng)時(shí)，

；

當(dāng)時(shí)，

；

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

綜上所述：

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若存在兩個(gè)不相等的正數(shù),,滿足,證明:.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖（1），在等腰梯形中，，，為中點(diǎn).以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖（2）.

（1）求證：；

（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“劍橋?qū)W派”創(chuàng)始人之一數(shù)學(xué)家哈代說過：“數(shù)學(xué)家的造型，同畫家和詩人一樣，也應(yīng)當(dāng)是美麗的”；古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)造的“黃金分割”給我們的生活處處帶來美；我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造了優(yōu)美“弦圖”.“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則等于（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2016年“一帶一路”沿線64個(gè)國家GDP之和約為12.0萬億美元，占全球GDP的；人口總數(shù)約為32.1億，占全球總?cè)丝诘?/span>；對(duì)外貿(mào)易總額（進(jìn)口額＋出口額）約為71885.6億美元，占全球貿(mào)易總額的.

2016年“一帶一路”沿線國家情況

人口（萬人）

GDP（億美元）

進(jìn)口額（億美元）

出口額（億美元）

蒙古

301.4

116.5

38.7

45.0

東南亞11國

63852.5

25802.2

11267.2

11798.6

南亞8國

174499.0

29146.6

4724.1

3308.5

中亞5國

6946.7

2254.7

422.7

590.7

西亞、北非19國

43504.6

36467.5

9675.5

8850.7

東歐20國

32161.9

26352.1

9775.5

11388.4

關(guān)于“一帶一路”沿線國家2016年?duì)顩r，能夠從上述資料中推出的是（ ）

A.超過六成人口集中在南亞地區(qū)

B.東南亞和南亞國家GDP之和占全球的以上

C.平均每個(gè)南亞國家對(duì)外貿(mào)易額超過1000億美元

D.平均每個(gè)東歐國家的進(jìn)口額高于平均每個(gè)西亞、北非國家的進(jìn)口額

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的圖象與x軸相切，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為該橢圓的一條垂直于軸的動(dòng)弦，直線與軸交于點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.

（1）證明：點(diǎn)恒在橢圓上.

（2）設(shè)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在某項(xiàng)娛樂活動(dòng)的海選過程中評(píng)分人員需對(duì)同批次的選手進(jìn)行考核并評(píng)分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，大于等于分的選手將直接參加競賽選拔賽.已知成績合格的名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中的頻率構(gòu)成等比數(shù)列.

（1）求的值；

（2）估計(jì)這名參賽選手的平均成績；

（3）根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，參加競賽選拔賽的選手能夠進(jìn)入正式競賽比賽的概率為，假設(shè)每名選手能否通過競賽選拔賽相互獨(dú)立，現(xiàn)有名選手進(jìn)入競賽選拔賽，記這名選手在競賽選拔賽中通過的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，點(diǎn)E、F、M分別為C1D1，A1D1，B1C1的中點(diǎn)，過點(diǎn)M的平面α與平面DEF平行，且與長方體的面相交，交線圍成一個(gè)幾何圖形．

（1）在圖1中，畫出這個(gè)幾何圖形，并求這個(gè)幾何圖形的面積（不必說明畫法與理由）

（2）在圖2中，求證：D1B⊥平面DEF．

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