Question

如果函數(shù)f(x)=

1

3

x3-a2x滿足：對于任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、[-

  2 3

  3

  ，

  2 3

  3

  ]
• B、(-

  2 3

  3

  ，

  2 3

  3

  )
• C、[-

  2 3

  3

  ，0)∪(0，

  2 3

  3

  ]
• D、(-

  2 3

  3

  ，0)∪(0，

  2 3

  3

  )

Answer 1

分析：由題意函數(shù)f(x)=

1

3

x3-a2x滿足：對于任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，必有函數(shù)f(x)=

1

3

x3-a2x滿足其最大值與最小值的差小于等于1，由此不等式解出參數(shù)a的范圍即可，故可先求出函數(shù)的導數(shù)，用導數(shù)判斷出最值，求出最大值與最小值的差，得到關于a的不等式，解出a的值

解答：解：由題意f′（x）=x²-a²
當a²≥1時，在x∈[0，1]，恒有導數(shù)為負，即函數(shù)在[0，1]上是減函數(shù)，故最大值為f（0）=0，最小值為f（1）=

1

3

-a²，故有a2-

1

3

≤1，解得|a|≤

2 3

3

，故可得1≤a≤

2 3

3

當a²∈[0，1]，由導數(shù)知函數(shù)在[0，a]上增，在[a，1]上減，故最大值為f（a）=-

2

3

a3又f（0）=0，矛盾，a∈[0，1]不成立，
故選A．

點評：考查學生理解函數(shù)恒成立的條件，理解導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)求函數(shù)最值的能力．