Question

已知函數(shù)f(x)=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間(a，a+

1

2

)（其中a＞0）上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）如果當x≥1時，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）求證．

n

k=1

[lnk+ln(k+1)]＞

n2-n+1

n+1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為f(x)=

1+lnx

x

，x＞0，則f′(x)=-

lnx

x

，利用函數(shù)的單調性和函數(shù)f（x）在區(qū)間(a，a+

1

2

)（其中a＞0）上存在極值，能求出實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）不等式f(x)≥

k

x+1

，即為

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，構造函數(shù)g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，利用導數(shù)知識能求出實數(shù)k的取值范圍．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f(x)＞

2

x+1

恒成立，即lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

，令x=n（n+1），則ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

，由此能夠證明

n

k=1

[lnk+ln(k+1)]＞

n2-n+1

n+1

(n∈N*)．

解答：解：（Ⅰ）因為f(x)=

1+lnx

x

，x＞0，
則f′（x）=

-lnx

x2

…1分
當0＜x＜1時，f'（x）＞0；當x＞1時，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減，
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值．…2分
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間(a，a+

1

2

)（其中a＞0）上存在極值，
所以

a＜1 a+ 1 2 ＞1

，解得

1

2

＜a＜1．…4分
（Ⅱ）不等式f(x)≥

k

x+1

，
即為

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，記g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，
所以g′(x)=

[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+lnx)

x2

=

x-lnx

x2

，…6分
令h（x）=x-lnx，則h′(x)=1-

1

x

，∵x≥1，∴h'（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，從而g'（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也單調遞增，
∴[g（x）]_min=g（1）=2，所以k≤2…8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f(x)＞

2

x+1

恒成立，即lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

，
令x=n（n+1），則ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

，…10分
所以 ln(1×2)＞1-

2

1×2

，ln(2×3)＞1-

2

2×3

，
ln(3×4)＞1-

2

3×4

，…，ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

，
疊加得：

n

k=1

[lnk+ln(k+1)]＞n-2(1-

1

n+1

)＞n-2+

1

n+1

=

n2-n+1

n+1

…13分．

點評：本題考查極值的應用，應用滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意構造法和分類討論法的合理運用．