Question

【題目】已知橢圓C： (a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(，1)，以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)(－1,0)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，試問在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使得恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)－.

【解析】試題分析：(Ⅰ) 由以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)可知，將點(diǎn) 代入橢圓方程，即可求得和的值，從而求得橢圓方程；(Ⅱ) 分類討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，及恒為定值即可求得的值，從而求得的值及點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)，則時(shí)，求得的值及點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：(Ⅰ)由題意可得圓的方程為x2＋y2＝b2.因?yàn)樵搱A經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，所以半焦距c＝b，所以a2＝2b2.將點(diǎn)(，1)代入橢圓方程可得b2＝2，a2＝4，

所以橢圓C的方程為.

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m,0)．

當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)．

聯(lián)立得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，

則x1＋x2＝，x1x2＝，

又y1y2＝k2(x1＋1)(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝k2＝，

而＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝＋

＝

＝為定值，

只需，解得m＝－，從而＝－，

當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，點(diǎn)A(－1， )，B(－1，-)，

此時(shí)，當(dāng)m＝－時(shí)， ＝(－1－m)(－1－m)－＝－.

綜上，存在點(diǎn)M(－，0)，使得＝－.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和平面向量數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.