【題目】【2014高考課標(biāo)2理數(shù)18】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,
E為PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積.
【答案】
【解析】(Ⅰ)證明:設(shè)O為AC與BD交點(diǎn),連結(jié)OE,則由矩形ABCD知:O為BD的中點(diǎn),因?yàn)镋是BD的中點(diǎn),所以O(shè)E∥PB,因?yàn)镺E面AEC,PB面AEC,所以PB∥平面AEC。
(Ⅱ)以A為原點(diǎn),直線AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=m,則
是平面AED的一個法向量,設(shè)是平面AEC的法向量,則
,解得,,所以令,得,所以
=,因?yàn)槎娼堑拇笮∨c其兩個半平面的兩個法向量的夾角相等哉互補(bǔ),所以=,解得,因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以三棱錐E-ACD的高為,所以三棱錐E-ACD的體積為==.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.
現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min,在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min,山路AC長為1 260 m,經(jīng)測量,cos A=,cos C=.
(1)求索道AB的長;
(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn), 為的中點(diǎn),且直線的斜率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)另一直線與橢圓交于兩點(diǎn),原點(diǎn)到直線的距離為,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知多面體如圖所示.其中為矩形, 為等腰直角三角形, ,四邊形為梯形,且, , .
(1)若為線段的中點(diǎn),求證: 平面.
(2)線段上是否存在一點(diǎn),使得直線與平面所成角的余弦值等于?若存在,請指出點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2017唐山模擬】如圖,ABCDA1B1C1D1為正方體,連接BD,AC1,B1D1, CD1,B1C,現(xiàn)有以下幾個結(jié)論:①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1與底面ABCD所成角的正切值是;④CB1與BD為異面直線,其中所有正確結(jié)論的序號為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中, 平面, , , , , 為的中點(diǎn), 為棱上一點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)為何值時,有平面;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=kax﹣a﹣x(a>0且a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù),則函數(shù)g(x)=loga(x+k)的圖像是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)=|t(x+ )﹣5|,其中常數(shù)t>0.
(1)若函數(shù)f(x)分別在區(qū)間(0,2),(2,+∞)上單調(diào),試求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(2)當(dāng)t=1時,方程f(x)=m有四個不相等的實(shí)根x1 , x2 , x3 , x4 . ①求四根之積x1x2x3x4的值;
②在[1,4]上是否存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得f(x)在[a,b]上單調(diào)且取值范圍為[ma,mb]?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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