Question

【題目】如圖，在多面體中，平面平面，，，，，．

（1）求平面與平面所成二面角的正弦值；

（2）若是棱的中點，求證：對于棱上任意一點，與都不平行．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】

（1）解法一，由面面垂直的條件證明平面，過點作，這樣以點為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的法向量，根據公式計算；解法二：在平面內，過點作的垂線，垂足為；在平面內，過作的垂線，交的延長線于點．連接，根據垂直關系，說明為平面與平面所成二面角的平面角；

（2）解法一：假設存在點滿足，設，，并利用向量相等表示點的坐標，若滿足，則，利用向量相等，列方程組求解判斷是否有解；解法二：假設棱上存在點，使得，顯然與點不同，所以四點共面，利用四點共面推出矛盾；解法三：假設棱上存在點，使得,連接，取的中點，在△中，因為分別為的中點，由條件可知，都平行于,推出矛盾.

解法一：（1）因為，平面平面，

平面平面，平面，

所以平面．

作交于，則三條直線兩兩垂直．以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．

因為，，．

所以，

設平面的法向量為，因為，

所以所以令，所以，

由軸平面知為平面的一個法向量，

所以，

所以與平面所成二面角的正弦值為．

（2）因為是棱的中點，由（1）可得．

假設棱上存在點，使得，

設，，

所以，

因為，所以，

所以這個方程組無解，

所以假設不成立，所以對于棱上任意一點，與都不平行．

解法二：（1）如圖，在平面內，過點作的垂線，垂足為；在平面內，過作的垂線，交的延長線于點．連接．

因為，所以平面．

因為，平面，平面，

所以平面，

設平面平面，則，故平面．

所以為平面與平面所成二面角的平面角．

因為，，所以，

在中，．

又，所以在中，．

所以，

所以與平面所成二面角的正弦值為．

（2）假設棱上存在點，使得，顯然與點不同

所以四點共面，記該平面為，所以，，，

又，，所以，，

所以就是點確定的平面，

這與為四棱錐相矛盾，所以假設不成立，

所以對于棱上任意一點，與都不平行．

解法三：（1）同解法一．

（2）假設棱上存在點，使得．

連接，取的中點，

在△中，因為分別為的中點，

所以．

因為過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行，所以與重合．

又點在線段上，所以，又，

所以是與的交點，即就是，

而與相交，所以與相矛盾，所以假設不成立，

所以對于棱上任意一點，與都不平行．