Question

【題目】某企業(yè)生產一種產品，從流水線上隨機抽取件產品，統計其質量指標值并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：規(guī)定產品的質量指標值在的為劣質品，在的為優(yōu)等品，在的為特優(yōu)品，銷售時劣質品每件虧損元，優(yōu)等品每件盈利元，特優(yōu)品每件盈利元，以這件產品的質量指標值位于各區(qū)間的頻率代替產品的質量指標值位于該區(qū)間的概率．

（1）求每件產品的平均銷售利潤；

（2）該企業(yè)主管部門為了解企業(yè)年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對該企業(yè)近年的年營銷費用和年銷售量，數據做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統計量的值．

表中，，，．

根據散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關于年營銷費用（萬元）的回歸方程．

①求關于的回歸方程；

②用所求的回歸方程估計該企業(yè)每年應投入多少營銷費，才能使得該企業(yè)的年收益的預報值達到最大？（收益銷售利潤營銷費用，取）

附：對于一組數據，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．

Answer 1

【答案】（1）元．（2）①②萬元

【解析】

（1）每件產品的銷售利潤為，由已知可得的取值，由頻率分布直方圖可得劣質品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率，從而可得的概率分布列，依期望公式計算出期望即為平均銷售利潤；

（2）①對取自然對數，得，

令，，，則，這就是線性回歸方程，由所給公式數據計算出系數，得線性回歸方程，從而可求得；

②求出收益，可設換元后用導數求出最大值．

解：（1）設每件產品的銷售利潤為，則的可能取值為，，．由頻率分布直方圖可得產品為劣質品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率分別為、、．

所以；；．所以的分布列為

所以（元）．

即每件產品的平均銷售利潤為元．

（2）①由，得，

令，，，則，

由表中數據可得，

則，

所以，即，

因為取，所以，故所求的回歸方程為．

②設年收益為萬元，則

令，則，，當時，，

當時，，所以當，即時，有最大值．

即該企業(yè)每年應該投入萬元營銷費，能使得該企業(yè)的年收益的預報值達到最大，最大收益為萬元．