【題目】若正項數(shù)列滿足:,則稱此數(shù)列為“比差等數(shù)列”.

1)試寫出一個“比差等數(shù)列”的前項;

2)設(shè)數(shù)列是一個“比差等數(shù)列”,問是否存在最小值,如存在,求出最小值;如不存在,請說明理由;

3)已知數(shù)列是一個“比差等數(shù)列”,為其前項的和,試證明:

【答案】1、(答案不唯一);(2)存在,且的最小值為;(3)證明見解析.

【解析】

1)根據(jù)“比差等數(shù)列”的定義得出,由,可得出,然后對取一個大于的值,可得出一個符合條件的“比差等數(shù)列”的前項;

2)由題意得出,且,利用基本不等式可求出的最小值;

3)由可推出,利用數(shù)學(xué)歸納法證明,由此得出,、,然后利用同向不等式的可加性可證明出成立.

1)由于數(shù)列為“比差等數(shù)列”,則,可得.

由于數(shù)列每項都是正數(shù),則,可得出.

,則,.

因此,“比差等數(shù)列”的前項可以是、(答案不唯一);

2)由(1)可知,,則,

,

當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,因此,有最小值;

3)由題意可得.

由于雙勾函數(shù)上是增函數(shù),

,且,則,

同理可得.

猜想,當(dāng)時,.

假設(shè)當(dāng)時,猜想成立,即

那么當(dāng)時,由于函數(shù)上是增函數(shù),

,

所以,.

由歸納原理可知,當(dāng)時,.

于是有,、、,

將上述不等式全部相加得.

因此,.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖1,在平面四邊形中,,現(xiàn)將沿四邊形的對角線折起,使點運動到點,如圖2,這時平面平面.

(1)求直線與平面所成角的正切值;

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1)設(shè)公司裁員人數(shù)為,寫出公司獲得的經(jīng)濟效益(千元)關(guān)于的函數(shù)(經(jīng)濟效益=在職人員創(chuàng)利總額被裁員工生活費);

2)為了獲得最大的經(jīng)濟效益,該公司應(yīng)裁員多少人?

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又已知剛好過1小時時測得酒精含量值為毫克/百毫升.根據(jù)上述條件,解答以下問題:

1)試計算喝1瓶啤酒多少小時血液中的酒精含量達到最大值?最大值是多少?

2)試計算喝1瓶啤酒后多少小時后才可以駕車?(時間以整分鐘計算)

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【題目】某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時運行,內(nèi)、外環(huán)線的長均為30千米(忽略內(nèi)、外環(huán)線長度差異).

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(2)新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為25千米/小時,外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時.現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18列列車全部投入運行,要使內(nèi)外環(huán)線乘客的最長候車時間之差不超過1分鐘,向內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運行?

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【題目】給定數(shù)列,記該數(shù)列前中的最大項為,即,該數(shù)列后中的最小項為,記,;

1)對于數(shù)列:34,71,求出相應(yīng)的,,;

2)若是數(shù)列的前項和,且對任意,有,其中為實數(shù),,.

(ⅰ)設(shè),證明:數(shù)列是等比數(shù)列;

(ⅱ)若數(shù)列對應(yīng)的滿足對任意的正整數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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①若顧客一次購買松子和腰果各1千克,需要支付180元,則x=________;

②在促銷活動中,為保證張軍每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為_____.

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