Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.

（1）求函數(shù)的解析式，并證明：.

（2）已知，且函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，兩點，且線段的中點為，證明：.

Answer 1

【答案】（1），證明見解析； （2）證明見解析.

【解析】

（1）利用切線方程可求得的解析式，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，從而證得結(jié)論；（2）通過分析法可知要證成立只需證；令，即證：；令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，可知，得到成立；令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，可知，得到成立，可知需證的不等式成立，則原不等式成立.

（1）由題意得：，即

又，即，則，解得：

則.

令，

令，解得：

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，則：

（2）要證成立，只需證：

即證，即：

只需證：

設(shè)，即證：

要證，只需證：

令，則

在上為增函數(shù)

，即成立；

要證，只需證明：

令，則

在上為減函數(shù) ，即成立

，成立

成立