【題目】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=AA1=A1C=2,平面ACC1A1⊥平面ABC.現(xiàn)以邊AC的中點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),平面ABC內(nèi)垂直于AC的直線為軸,直線AC軸,直線DA1軸建立空間直角坐標(biāo)系,解決以下問題:

(1)求異面直線ABA1C所成角的余弦值;

(2)求直線AB與平面A1BC所成角的正弦值.

【答案】(1);(2).

【解析】

(1)以邊AC的中點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),平面ABC內(nèi)垂直于AC的直線為x軸,直線AC為y軸,直線DA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出異面直線AB與A1C所成角的余弦值.

(2)求出平面A1BC的法向量,利用向量法能求出直線AB與平面A1BC所成角的正弦值.

(1)三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=AA1=A1C=2,平面ACC1A1平面ABC.

以邊AC的中點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),

平面ABC內(nèi)垂直于AC的直線為x軸,

直線AC為y軸,直線DA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

根據(jù)題中空間直角坐標(biāo)系可知:

A(0,﹣1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,),

=(2,2,0),=(0,1,﹣),

∴cos<>===

設(shè)異面直線AB與A1C的所成角為α,則,

異面直線AB與A1C所成角的余弦值為

(2)由(1)得:=(2,1,﹣),=(﹣2,0,0),

設(shè)平面A1BC的法向量為=(x,y,z),

,取z=1,則=(0,),

∴cos<>===

設(shè)直線AB與平面A1BC所成角為β,β∈(0,],

則sinβ=|cos<,>|=

故直線AB與平面A1BC所成角的正弦值為

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(2)y的最小值及此時(shí)tan的值

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A. 56 B. 60 C. 120 D. 140

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