Question

某次有1000人參加的數(shù)學摸底考試，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀.

（1）下表是這次考試成績的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)a, b的值；

區(qū)間	[75，80)	[80，85)	[85，90)	[90，95)	[95，100]
人數(shù)	50	a	350	300	b

（2）現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成績進行分析，求其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學生人數(shù)；
（3）在（2）中抽取的40名學生中，要隨機選取2名學生參 加座談會，記“其中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)”為X，求X的分布列與數(shù)學期望.

Answer 1

(1) ;(2)30人；（3）分布列

X	0	1	2
P

 
期望為.

試題分析：(1) 為成績在的人數(shù)，為成績在的人數(shù)，頻率分布直方圖中每個小矩形的面積代表樣本數(shù)據(jù)在該區(qū)間上的頻率，有1000人參加的數(shù)學摸底考試，故落在某一區(qū)間的人數(shù)為該區(qū)間的矩形面積乘以總?cè)藬?shù).
(2)分層抽樣是按一定比例抽取，但每個個體被抽到的概率相等，所以.
(3) 隨機選取2名學生，則2名學生成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為0、1、2，利用古典概型分別求出X取值時的概率，寫出分布列，利用期望公式可求期望.
試題解析：(1)依題意，.
（2）設其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學生人數(shù)為x，則，解得：x=30，
即其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學生人數(shù)為30名.
（3）依題意，X的取值為0，1，2，
，，，
所以X的分布列為

X	0	1	2
P

，所以X的數(shù)學期望為.