Question

已知圓C₁：x²＋y²－2y＝0，圓C₂：x²＋(y＋1)²＝4的圓心分別為C₁，C₂，P為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PC₁，PC₂的斜率之積為－.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M的方程；
(2)是否存在過點(diǎn)A(2，0)的直線l與軌跡M交于不同的兩點(diǎn)C，D，使得|C₁C|＝|C₁D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）＋y²＝1(x≠0)（2）不存在

(1)兩圓的圓心坐標(biāo)分別為C₁(0，1)，和C₂(0，－1)，
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則直線PC₁，PC₂的斜率分別為(x≠0)和 (x≠0)．
由已知條件得＝－(x≠0)，即＋y²＝1(x≠0)．
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M的方程為＋y²＝1(x≠0)．
(2)假設(shè)存在滿足條件的直線l，易知點(diǎn)A(2，0)在橢圓M的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓M無交點(diǎn)，此時(shí)不符合題意，所以直線l斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y＝k(x－2)．
聯(lián)立方程組得(2k²＋1)x²－8k²x＋8k²－2＝0，①
依題意Δ＝－8(2k²－1)>0，解得－<k<.
當(dāng)－<k<時(shí)，設(shè)交點(diǎn)分別為C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，CD的中點(diǎn)為N(x₀，y₀)，
則x₁＋x₂＝，則x₀＝＝，
所以y₀＝k(x₀－2)＝k＝.
要使|C₁C|＝|C₁D|，必須C₁N⊥l，即k·kC₁N＝－1，
所以k·＝－1，即k²－k＋＝0，
因?yàn)?i>Δ₁＝1－4×＝－1<0，∴k²－k＋＝0無解，
所以不存在直線，使得|C₁C|＝|C₁D|，
綜上所述，不存在直線l，使得|C₁C|＝|C₁D|.