如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分別是棱AD，AA1的中點．

(Ⅰ)設(shè)F是棱AB的中點，證明：直線EE1∥平面FCC1

(Ⅱ)證明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證法一：取A1B1的中點為F1，

　　連結(jié)FF1，C1F1，

　　由于FF1∥BB1∥CC1，

　　所以F1∈平面FCC1，

　　因為：平面FCC1即為平面C1CFF1，

　　連結(jié)A1D，F1C，

　　由于A1F1D1C1CD，

　　所以：四邊形A1DCF1為平行四邊形，

　　因為：A1D∥F1C．

　　又EE1∥A1D，

　　得EE1∥F1C，

　　而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1，

故EE1∥平面FCC1．

　　證法二：因為F為AB的中點，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，

　　所以CDAF，

　　因此四邊形AFCD為平行四邊形，

　　所以AD∥FC．

　　又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC平面FCC1，CC1平面FCC

　　所以平面ADD1A1∥平面FCC1，

　　又EE1平面ADD1A1，

　　所以EE1∥平面FCC1．

　　(Ⅱ)證明：連結(jié)AC，連△FBC中，FC＝BC＝FB，

　　又F為AB的中點，

　　所以AF＝FC＝FB，

　　因此∠ACB＝90°，

　　即AC⊥BC．

　　又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，

　　所以AC⊥平面BB1C1C，

　　而AC平面D1AC，

　　故平面D1AC⊥平面BB1C1C．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分別是棱AD，AA1的中點，F(xiàn)為AB的中點．證明：
（1）EE1∥平面FCC1．
（2）平面D1AC⊥平面BB1C1C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分別是棱AD，AA1的中點．
（1）設(shè)F是棱AB的中點，證明：直線EE1∥平面FCC1；
（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點．
（1）求證：EF∥平面A1BC1；
（2）求證：平面D1DBB1⊥平面A1BC1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F(xiàn)分別是棱AD，AA1，AB的中點．
（1）證明：直線EE1∥平面FCC1；
（2）求二面角B-FC1-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•撫州模擬）如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC，∠ABC=60°，BB1=BC=2，M為BC中點，點N在CC1上．
（1）試確定點N的位置，使AB1⊥MN；
（2）當(dāng)AB1⊥MN時，求二面角M-AB1-N的正切值．

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