Question

【題目】如圖，已知長(zhǎng)方形中， 的中點(diǎn)，將沿折起，使得平面平面.

（1）求證： ；

（2）設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) .

【解析】試題分析：(1)設(shè)， 為的中點(diǎn)，得，進(jìn)而得平面，即可得到.

(2)取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為和平面的一個(gè)法向量，即可利用向量的夾角公式，即得到二面角的余弦值.

試題解析：

(1)證明：因?yàn)殚L(zhǎng)方形中，設(shè)， 為的中點(diǎn)，

所以，所以，因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面平面平面，

所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以.

(2)取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)?/span>平面，

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量， ，

由，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，聯(lián)立，取，

得 ，所以，

因?yàn)?/span>，求得，所以為的中點(diǎn)，

故點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為.