【題目】已知為坐標(biāo)原點，橢圓的離心率為，雙曲線的漸近線與橢圓的交點到原點的距離均為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點為橢圓上的動點，三點共線，直線的斜率分別為.

（i）證明：；

（ii）若，設(shè)直線過點，直線過點，證明：為定值.

【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析；

【解析】

（1）設(shè)漸近線與橢圓交點為，根據(jù)到原點的距離和在橢圓上可得到關(guān)于的方程，結(jié)合離心率即可求得，進而得到橢圓方程；

（2）由關(guān)于原點對稱可假設(shè)坐標(biāo)；

（i）利用在橢圓上，滿足橢圓方程，代入中化簡整理可得結(jié)論；

（ii）求得后，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，利用可得到所求定值.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知：，…①，

雙曲線的漸近線方程為，

可設(shè)雙曲線的漸近線與橢圓在第一象限的交點為，

，解得：.

在橢圓上，，即：…②，

由①②解得：，，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）由題意知：關(guān)于原點對稱，則可設(shè)，，.

（i）點在橢圓上，，，

，，

.

（ii）不妨設(shè)，，

，，，，

直線過點，直線過點，

直線，，

由得：，，

由得：，，

，即，

為定值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】我國是世界第一產(chǎn)糧大國，我國糧食產(chǎn)量很高，整體很安全按照14億人口計算，中國人均糧食產(chǎn)量約為950斤﹣比全球人均糧食產(chǎn)量高了約250斤．如圖是中國國家統(tǒng)計局網(wǎng)站中2010﹣2019年，我國糧食產(chǎn)量（千萬噸）與年末總?cè)丝冢ㄇf人）的條形圖，根據(jù)如圖可知在2010﹣2019年中（ ）

A.我國糧食年產(chǎn)量與年末總?cè)丝诰鹉赀f增

B.2011年我國糧食年產(chǎn)量的年增長率最大

C.2015年﹣2019年我國糧食年產(chǎn)量相對穩(wěn)定

D.2015年我國人均糧食年產(chǎn)量達到了最高峰

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（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）求直線l的斜率k的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)，，求的取值范圍.

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完成以下問題：

（Ⅰ）補全頻率分布直方圖并求n，a，p的值；

（Ⅱ）從[40，50）歲年齡段的“時尚族”中采用分層抽樣法抽取18人參加網(wǎng)絡(luò)時尚達人大賽，其中選取3人作為領(lǐng)隊，記選取的3名領(lǐng)隊中年齡在[40，45）歲的人數(shù)為X，求X的分布列和期望E（X）..

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若，點K在橢圓E上，、分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；

證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

若l過點，射線OM與橢圓E交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時直線l斜率；若不能，說明理由．

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