設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
3
2
-
2
2x+
2
圖象上任意兩點(diǎn)，且x1+x2=1．
（Ⅰ）求y1+y2的值；
（Ⅱ）若Tn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)（其中n∈N*），求Tn；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)an=
2
Tn
（n∈N*），若不等式an+an+1+an+2+…+a2n-1＞
1
2
loga(1-2a)對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
分析：（Ⅰ）在x1+x2=1的條件下，代入表達(dá)式化簡(jiǎn)即可求得y1+y2的值；
（Ⅱ）用（Ⅰ）結(jié)論易求2Tn的值，從而得到Tn的值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可把不等式表示出來，不等式an+an+1+an+2+…+a2n-1＞
1
2
loga(1-2a)對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，該問題可轉(zhuǎn)化關(guān)于n的函數(shù)的最值問題，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性易求最值，從而問題得以解決；
解答：解：（Ⅰ）y1+y2=
3
2
-
2
2x1+
2
+
3
2
-
2
2x2+
2

=3-(
2
2x1+
2
+
2
2x2+
2
)=3-
4+
2
(2x1+2x2)
2x1+x2+
2
(2x1+2x2)+2

=3-
4+
2
(2x1+2x2)
2+
2
(2x1+2x2)+2
=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)x1+x2=1時(shí)，y1+y2=2，
由Tn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)①，得Tn=f(
n
n
)+…+f(
2
n
)+f(
1
n
)+f(0)②，
①+②得，2Tn=[f(0)+f(
n
n
)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+…+[f(
n
n
)+f(0)]=2(n+1)，
∴Tn=n+1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，an=
2
Tn
=
2
n+1
，
不等式an+an+1+an+2+…+a2n-1＞
1
2
loga(1-2a)即為
2
n+1
+
2
n+2
+…+
2
2n
＞
1
2
loga(1-2a)，
設(shè)Hn=
2
n+1
+
2
n+2
+…+
2
2n
，則 Hn+1=
2
n+2
+
2
n+3
+…+
2
2n
+
2
2n+1
+
2
2n+2
，
∴Hn+1-Hn=
2
2n+1
+
2
2(n+1)
-
2
n+1
=
2
2n+1
-
2
2n+2
＞0，
∴數(shù)列{Hn}是單調(diào)遞增數(shù)列，∴（Hn）min=T1=1，
要使不等式恒成立，只需
1
2
loga(1-2a)＜1，即loga(1-2a)＜logaa2，
∴
0＜a＜1
1-2a＞0
1-2a＞a2
或
a＞1
1-2a＞0
1-2a＜a2
，解得0＜a＜
2
-1．
故使不等式對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立的a的取值范圍是(0，
2
-1)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合問題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F交拋物線C于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求
1
y1
+
1
y2
的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在定點(diǎn)Q，使得無論AB怎樣運(yùn)動(dòng)都有∠AQF=∠BQF？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點(diǎn)，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2
．
（Ⅰ）求證：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值；
（Ⅱ）定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的Sn，設(shè)an=
1
2Sn+1
(n∈N*)．若對(duì)于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的兩點(diǎn)，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率e=
3
2
，短軸長(zhǎng)為2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上任意兩點(diǎn)，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2
，且有Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N*且n≥2，
（1）求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)值；
（2）求s2，s3，s4及Sn；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N*，且Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn≤λ（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立，試求λ的最小正整數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是拋物線y=x2上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
（1）求證：直線BC的斜率等于x2+x3，也等于
x2-x1x3-x2
；
（2）求A、C兩點(diǎn)之間距離的最小值．

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