Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x²-（m+1）x-m-2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，點(diǎn)B在x軸的正半軸，與y軸交于點(diǎn)C，且OB=3OA．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E．問：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在這樣的點(diǎn)F，使得△ABE與以B、D、F為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)G（x，1）在拋物線上，求出過點(diǎn)A、B、G的圓的圓心的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：解：（1）由題設(shè)條件，設(shè)A（-x，0），B（3x，0）（x＞0），則，由A（-x，0），知，由此能求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
（2）由這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3，知A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），對(duì)稱軸為直線x=1．由 ，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）．過點(diǎn)E作EH⊥x軸于H．在Rt△AEH中，可求AE=，若對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)P，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．由∠PAM=∠MDB，知要使得在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，使得△ABE與以B、D、F為頂點(diǎn)的三角形相似，只需要或．由此能求出符合題意的F點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）由點(diǎn)G（x，1）在拋物線上，知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，1），由A、B、G在同一圓上，知圓心一定在拋物線的對(duì)稱軸上，由PA=PA=PG=，知點(diǎn)P即為過點(diǎn)A、B、G的圓的圓心．
解答：解：（1）由題設(shè)條件，設(shè)A（-x，0），B（3x，0）（x＞0），
則，
∴由A（-x，0），知，
即3m²+2m-5=0，
解得m=1，或m=-（舍）．
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3．
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上存在這樣的點(diǎn)F，使得△ABE與以B、D、F為頂點(diǎn)的三角形相似．∵這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3，
∴A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），
對(duì)稱軸為直線x=1．
∵過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，
∴，
解得或，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）．
過點(diǎn)E作EH⊥x軸于H
在Rt△AEH中，可求AE=．
若對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)P，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）
∵對(duì)稱軸與x軸垂直，交點(diǎn)為點(diǎn)M，
∴在Rt△BMD中，可求BD=2，
在Rt△APM中，，
在Rt△BMD中，，
∴∠PAM=∠MDB．
由題意，要使得在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F，使得△ABE與以B、D、F為頂點(diǎn)的三角形相似，只需要或．

∴，
解得，
∴點(diǎn)F₁ 的坐標(biāo)為（1，）．
或，
解得 D，
∴點(diǎn)F₂ 的坐標(biāo)為（1，-）．
綜上，符合題意的F點(diǎn)坐標(biāo)為．
（3）∵點(diǎn)G（x，1）在拋物線上
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，1），
又∵A、B、G在同一圓上
∴圓心一定在拋物線的對(duì)稱軸上
∵PA=PA=PG=，
∴點(diǎn)P即為過點(diǎn)A、B、G的圓的圓心
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．