Question

已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線(xiàn)l₁：x=-2的距離為d₁，到點(diǎn)F（-1，0）的距離為d₂，且

d2

d1

=

2

2

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線(xiàn)C的方程；
（2）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F且與曲線(xiàn)C交于不同兩點(diǎn)A、B（點(diǎn)A或B不在x軸上），分別過(guò)A、B點(diǎn)作直線(xiàn)l₁：x=-2的垂線(xiàn)，對(duì)應(yīng)的垂足分別為M、N，試判斷點(diǎn)F與以線(xiàn)段MN為直徑的圓的位置關(guān)系（指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況）；
（3）記S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的點(diǎn)），問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ，使

S

2 2

=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用已知條件列出方程求解求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線(xiàn)C的方程；
（2）利用直線(xiàn)l與橢圓的故選列出方程，求出兩個(gè)坐標(biāo)的關(guān)系，通過(guò)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可以比較點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小來(lái)判斷，也可以計(jì)算點(diǎn)與直徑形成的張角是銳角、直角、鈍角來(lái)加以判斷．
（3）利用弦長(zhǎng)公式兩點(diǎn)距離公式，求出S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的點(diǎn)），使

S

2 2

=λS1S3成立．求出λ的值即可．

解答：解�。�1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P（x，y），依據(jù)題意，有

(x+1)2+y2

|x+2|

=

2

2

，化簡(jiǎn)得

x2

2

+y2=1．              …（3分）
因此，動(dòng)點(diǎn)P所在曲線(xiàn)C的方程是：

x2

2

+y2=1．              …（4分）
（2）點(diǎn)F在以MN為直徑的圓的外部．
理由：由題意可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，不合題意，故可設(shè)直線(xiàn)l：x=my-1，如圖所示．                           （5分）
聯(lián)立方程組

x2 2 +y2=1 x=my-1

，可化為（2+m²）y²-2my-1=0，
則點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標(biāo)滿(mǎn)足

y1+y2= 2m 2+m2 y1y2=- 1 2+m2

．                         （7分）
又AM⊥l₁、BN⊥l₁，可得點(diǎn)M（-2，y₁）、N（-2，y₂）．
因

FM

=(-1，y1)，

FN

=(-1，y2)，則

FM

•

FN

=(-1，y1)•(-1，y2)=1+y1y2=

1+m2

2+m2

＞0．（9分）
于是，∠MFN為銳角，即點(diǎn)F在以MN為直徑的圓的外部．                 （10分）
（3）依據(jù)（2）可算出x1+x2=m(y1+y2)-2=-

4

2+m2

，x1x2=(my1-1)(my2-1)=

2-2m2

2+m2

，
則  S1S3=

1

2

(x1+2)|y1|•

1

2

(x2+2)|y2|=

1

4

•

1

2+m2

[x1x2+2(x1+x2)+4]=

1

2

1+m2

(2+m2)2

，

S

2 2

=(

1

2

|y1-y2|•1)2=

1

4

[(y1+y2)2-4y1y2]=2

1+m2

(2+m2)2

．              （15分）
所以，

S

2 2

=4S1S3，即存在實(shí)數(shù)λ=4使得結(jié)論成立．            （16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系與直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判斷，三角形的面積公式的應(yīng)用，向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．