Question

【題目】已知拋物線： 的焦點為，圓： ，過作垂直于軸的直線交拋物線于、兩點，且的面積為.

（1）求拋物線的方程和圓的方程；

（2）若直線、均過坐標原點，且互相垂直， 交拋物線于，交圓于， 交拋物線于，交圓于，求與的面積比的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 拋物線方程為： ,圓方程為： (2) 當時， 與的面積比的取到最小值4.

【解析】試題分析：（1）先求得的坐標，可得，由的面積為，可得，從而可得拋物線的方程，進而可得圓的方程；（2）設的方程為，

則方程為.由得=0，或 同理可求得.

根據弦長公式及點到直線距離公式可得， ，從而，利用基本不等式可得結果.

試題解析：（1）因為拋物線焦點F坐標為 , 則，

聯立 ∴或，

故，

∴，

即，

∴拋物線方程為： .

圓方程為： ，

（2） 顯然、的斜率必須存在且均不為0，設的方程為，

則方程為.(注:末說明斜率不給分)

由得=0，或 同理可求得.

則

.

設到、的距離分別為、，

則； .

則.

∴.

當且僅當時， 與的面積比的取到最小值4.

【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢拋物線方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形面積比的最值的.