【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,證明:函數(shù)有兩個零點;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
【答案】(1)證明見解析;(2)當(dāng)時,的最小值為;當(dāng)時,的最小值為;當(dāng)時,的最小值為.
【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用零點存在性定理即可證明.
(2)解出導(dǎo)函數(shù)方程的根,討論根與給定區(qū)間關(guān)系,分類討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)最值.
(1)當(dāng)時,.
令,得,
當(dāng)時,在上為減函數(shù);
當(dāng)時,在上為增函數(shù).
因為,
,
所以,當(dāng)時,函數(shù)有兩個零點.
(2).
當(dāng)時,令,得,
當(dāng)時,在上為減函數(shù);
當(dāng)時,在上為增函數(shù).
所以,當(dāng),即時,在上單調(diào)遞增,
;
當(dāng),即時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,;
當(dāng),即時,在上單調(diào)遞減,.
綜上所述,在上,當(dāng)時,的最小值為;
當(dāng)時,的最小值為;
當(dāng)時,的最小值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查某大學(xué)學(xué)生在周日上網(wǎng)的時間,隨機對名男生和名女生進行了不記名的問卷調(diào)查,得到了如下的統(tǒng)計結(jié)果:
表1:男生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表:
上網(wǎng)時間(分鐘) | |||||
人數(shù) | 5 | 25 | 30 | 25 | 15 |
表2:女生上網(wǎng)時間與頻數(shù)分布表:
上網(wǎng)時間(分鐘) | |||||
人數(shù) | 10 | 20 | 40 | 20 | 10 |
(1)若該大學(xué)共有女生人,試估計其中上網(wǎng)時間不少于分鐘的人數(shù);
(2)完成表3的列聯(lián)表,并回答能否有的把握認(rèn)為“學(xué)生周日上網(wǎng)時間與性別有關(guān)”?
(3)從表3的男生中“上網(wǎng)時間少于分鐘”和“上網(wǎng)時間不少于分鐘”的人數(shù)中用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本,再從中任取兩人,求至少有一人上網(wǎng)時間超過分鐘的概率.表3:
上網(wǎng)時間少于60分鐘 | 上網(wǎng)時間不少于60分鐘 | 合計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 |
附:,其中,
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列、,其中, ,數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列、的通項公式;
(2)是否存在自然數(shù),使得對于任意有恒成立?若存在,求出的最小值;
(3)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓的半徑為3,圓心在軸正半軸上,直線與圓相切.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點的直線與圓交于不同的兩點,而且滿足,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某中學(xué)學(xué)生對《中華人民共和國交通安全法》的了解情況,調(diào)查部門在該校進行了一次問卷調(diào)查(共12道題),從該校學(xué)生中隨機抽取40人,統(tǒng)計了每人答對的題數(shù),將統(tǒng)計結(jié)果分成,,,,,六組,得到如下頻率分布直方圖.
(1)若答對一題得10分,未答對不得分,估計這40人的成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)若從答對題數(shù)在內(nèi)的學(xué)生中隨機抽取2人,求恰有1人答對題數(shù)在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明和爸爸媽媽、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制,5人坐成一排.若小 明的父母至少有一人與小明相鄰,則不同的坐法總數(shù)為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年初,新冠肺炎疫情襲擊全國,某省由于人員流動性較大,成為湖北省外疫情最嚴(yán)重的省份之一,截至2月29日,該省已累計確診1349例患者(無境外輸入病例).
(1)為了解新冠肺炎的相關(guān)特征,研究人員從該省隨機抽取100名確診患者,統(tǒng)計他們的年齡數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
年齡 | |||||||||
人數(shù) | 2 | 6 | 12 | 18 | 22 | 22 | 12 | 4 | 2 |
由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為,該省新冠肺炎患者的年齡服從正態(tài)分布img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/05/25/11/70cd3e4c/SYS202005251112216152234742_ST/SYS202005251112216152234742_ST.011.png" width="80" height="22" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,其中近似為這100名患者年齡的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).請估計該省新冠肺炎患者年齡在70歲以上()的患者比例;
(2)截至2月29日,該省新冠肺炎的密切接觸者(均已接受檢測)中確診患者約占10%,以這些密切接觸者確診的頻率代替1名密切接觸者確診發(fā)生的概率,每名密切接觸者是否確診相互獨立.現(xiàn)有密切接觸者20人,為檢測出所有患者,設(shè)計了如下方案:將這20名密切接觸者隨機地按(且是20的約數(shù))個人一組平均分組,并將同組的個人每人抽取的一半血液混合在一起化驗,若發(fā)現(xiàn)新冠病毒,則對該組的個人抽取的另一半血液逐一化驗,記個人中患者的人數(shù)為,以化驗次數(shù)的期望值為決策依據(jù),試確定使得20人的化驗總次數(shù)最少的的值.
參考數(shù)據(jù):若,則,,,,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)了兩種產(chǎn)品投放市場,計劃每年對這兩種產(chǎn)品托人200萬元,每種產(chǎn)品一年至少投入20萬元,其中產(chǎn)品的年收益,產(chǎn)品的年收益與投入(單位萬元)分別滿足;若公司有100名銷售人員,按照對兩種產(chǎn)品的銷售業(yè)績分為普銷售、中級銷售以及金牌銷售,其中普銷售28人,中級銷售60人,金牌銷售12人
(1)為了使兩種產(chǎn)品的總收益之和最大,求產(chǎn)品每年的投入
(2)為了對表現(xiàn)良好的銷售人員進行獎勵,公司制定了兩種獎勵方案:
方案一:按分層抽樣從三類銷售中總共抽取25人給予獎勵:普通銷售獎勵2300元,中級銷售獎勵5000元;金牌銷售獎勵8000元
方案二:每位銷售都參加摸獎游戲,游戲規(guī)則:從一個裝有3個白球,2個紅球(求只有顏色不同)的箱子中,有放回地莫三次球,每次只能摸一只球.若摸到紅球的總數(shù)為2,則可獎勵1500元,若摸到紅球總數(shù)是3,則可獲得獎勵3000元,其他情況不給予獎勵,規(guī)定普通銷售均可參加1次摸獎游戲;中級銷售均可參加2次摸獎游戲,金牌銷售均可參加3次摸獎游戲(每次摸獎的結(jié)果相互獨立,獎勵疊加)
(。┣蠓桨敢华剟畹目偨痤~;
(ⅱ)假設(shè)你是企業(yè)老板,試通過計算并結(jié)合實際說明,你會選擇哪種方案獎勵銷售員.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面為正方形,,,,,為的中點,為棱上的一點.
(1)證明:面面;
(2)當(dāng)為中點時,求二面角余弦值.
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