Question

（2012•貴州模擬）已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

1

2

，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)(1，

3

2

)．
（I）求橢圓E的方程；
（II）直線y=kx-2與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，在OA、OB上分別存在異于O點(diǎn)的點(diǎn)M、N，使得O在以MN為直徑的圓外，求直線斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．離心率為

1

2

，且經(jīng)過點(diǎn)(1，

3

2

)．能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）聯(lián)立方程組

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-16kx+4=0，由直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，解得k2＞

1

4

，由原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓外，知∠MON為銳角，由此能求出直線斜率k的取值范圍．

解答：解：（I）依題意，可設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由

c

a

=

1

2

⇒a=2c，b2=a2-c2=3c2，
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)(1，

3

2

)，則

1

4c2

+

9

12c2

=1，解得c²=1，
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）聯(lián)立方程組

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

，消去y整理得（4k²+3）x²-16kx+4=0，
∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（-16k）²-16（4k²+3）＞0，解得k2＞

1

4

，①
∵原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓外，
∴∠MON為銳角，即

OM

•

ON

＞0．
而M、N分別在OA、OB上且異于O點(diǎn)，即

OA

•

OB

＞0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

OA

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2
=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4═(k2+1)

4

4k2+3

-2k

16k

4k2+3

+4＞0
解得k2＜

4

3

，②
綜合①②可知：k∈(-

2 3

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

2 3

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線斜率的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量知識(shí)的合理運(yùn)用．