(2012•泉州模擬)將邊長為1的正三角形ABC按如圖所示的方式放置,其中頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合.記邊AB所在直線的傾斜角為θ,已知θ∈[0,
π
3
]

(Ⅰ)試用θ表示
BC
的坐標(biāo)(要求將結(jié)果化簡為形如(cosα,sinα)的形式);
(Ⅱ)定義:對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)P(x1,y1)、Q(x2,y2),稱|x1-x2|+|y1-y2|為P、Q兩點(diǎn)間的“taxi距離”,并用符號(hào)|PQ|表示.試求|BC|的最大值.
分析:(Ⅰ)解法一:由B(cosθ,sinθ),C(cos(θ+
π
3
),sin(θ+
π
3
))可求得
BC
的坐標(biāo),利用兩角和與差的三角函數(shù)公式即可求得
BC

解法二:由直線AD的傾斜角為
3
+θ,
BC
=
AD
,利用三角函數(shù)的定義可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)為:D(cos(θ+
3
),sin(θ+
3
)),即
BC
的坐標(biāo);
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)解法二可知|BC|=|cos(θ+
3
)|+|sin(θ+
3
))|,而θ∈[0,
π
3
],可求得θ+
3
∈[
3
,π],從而可得|BC|=-cos(θ+
3
)+sin(θ+
3
),整理可得|BC|=
2
sin(θ+
12
),繼而可得答案;
解法二:由(Ⅰ)解法一可知|BC|=|cos(θ+
π
3
)-cosθ|+|sin(θ+
π
3
)-sinθ|,由0≤θ≤
π
3
,可得0<θ+
π
3
<π,從而|cos(θ+
π
3
)-cosθ|
=cosθ-cos(θ+
π
3
),同理|sin(θ+
π
3
)-sinθ|
=sin(θ+
π
3
)-sinθ,于是|BC|=sin(θ+
π
3
)+cos(θ+
π
3
),再利用輔助角公式即可得答案.
解答:解:(Ⅰ)解法一:因?yàn)锽(cosθ,sinθ),C(cos(θ+
π
3
),sin(θ+
π
3
)),…(2分)
所以
BC
=(cos(θ+
π
3
)-cosθ,sin(θ+
π
3
)-sinθ),…(3分)
=(-
3
2
sinθ-
1
2
cosθ,
3
2
cosθ-
1
2
sinθ)
=(cos(θ+
3
),sin(θ+
3
)).…(7分)
解法二:平移
BC
AD
(B移到A,C移到D),…(2分)
BC
的坐標(biāo)與
AD
的坐標(biāo)相等,都等于點(diǎn)D的坐標(biāo).…(3分)
由平幾知識(shí)易得直線AD的傾斜角為
3
+θ,
|AD|
=1,
∴根據(jù)三角函數(shù)的定義可得D(cos(θ+
3
),sin(θ+
3
)),
所以
BC
=(cos(θ+
3
),sin(θ+
3
)).…(7分)
(Ⅱ)解法一:
|BC|=|cos(θ+
3
)|+|sin(θ+
3
))|,…(8分)
∵θ∈[0,
π
3
],
∴θ+
3
∈[
3
,π],…(9分)
∴|BC|=-cos(θ+
3
)+sin(θ+
3
)…(11分)
=
2
sin(θ+
12
),…(12分)
所以當(dāng)θ=
π
12
時(shí),|BC|取得最大值
2
.…(13分)
解法二:|BC|=|cos(θ+
π
3
)-cosθ|+|sin(θ+
π
3
)-sinθ|,…(8分)
∵0≤θ≤
π
3

π
3
≤θ+
π
3
3
<π,即0≤θ<θ+
π
3
<π,
|cos(θ+
π
3
)-cosθ|
=cosθ-cos(θ+
π
3
).…(9分)
∵0≤θ≤
π
3
,
π
2
-θ≥(θ+
π
3
)-
π
2
,
|sin(θ+
π
3
)-sinθ|
=sin(θ+
π
3
)-sinθ,…10分
|BC|=cosθ-cos(θ+
π
3
)+sin(θ+
π
3
)-sinθ
=sin(θ+
π
3
)+cos(θ+
π
3

=
2
sin(θ+
12
),…(12分)
所以當(dāng)θ=
π
12
,|BC|取得最大值
2
.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查三角函數(shù)的定義、兩角和與差的三角函數(shù)公式、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,綜合性強(qiáng),屬于難題.
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12
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1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)
=( 。

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