(2012•泉州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+lnx.
(Ⅰ)當(dāng)a=-1時,求函數(shù)y=f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)已知a<0,若函數(shù)y=f(x)的圖象總在直線y=-
12
的下方,求a的取值范圍;
(Ⅲ)記f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).若a=1,試問:在區(qū)間[1,10]上是否存在k(k<100)個正數(shù)x1,x2,x3…xk,使得f′(x1)+f'(x2)+f′(x3)+…+f′(xk)≥2012成立?請證明你的結(jié)論.
分析:(Ⅰ)當(dāng)a=-1時,f(x)=-2x+
1
x
,f′(1)=-1,由此能求出函數(shù)y=f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程.
(Ⅱ)f′(x)=2ax+
1
x
=
2ax2+1
x
=
2a(x2+
1
2a
)
x
,x>0,a<0.令f′(x)=0,則x=
-
1
2a
.由此能求出a的取值范圍.
(Ⅲ)當(dāng)a=1時,f′(x)=2x+
1
x
.記g(x)=f′(x),其中x∈[1,10].由此入手能夠推導(dǎo)出在區(qū)間[1,10]上不存在使得f'(x1)+f'(x2)+f'(x3)+…+f'(xk)≥2012成立的k(k<100)個正數(shù)x1,x2,x3…xk
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)a=-1時,f(x)=-x2+lnx,f(x)=-2x+
1
x
,f′(1)=-1,
所以切線的斜率為-1.…(2分)
又f(1)=-1,所以切點為(1,-1).
故所求的切線方程為:y+1=-(x-1)即x+y=0.…(4分)
(Ⅱ)f′(x)=2ax+
1
x
=
2ax2+1
x
=
2a(x2+
1
2a
)
x
,x>0,a<0.…(6分)
令f′(x)=0,則x=
-
1
2a

當(dāng)x∈(0,
-
1
2a
]
時,f′(x)>0;當(dāng)x∈(
-
1
2a
,+∞)
時,f′(x)<0.
x=
-
1
2a
為函數(shù)f(x)的唯一極大值點,
所以f(x)的最大值為f(
-
1
2a
)
=-
1
2
+
1
2
ln(-
1
2a
)
.…(8分)
由題意有-
1
2
+
1
2
ln(-
1
2a
)<-
1
2
,解得a<-
1
2

所以a的取值范圍為(-∞,-
1
2
)
.…(10分)
(Ⅲ)當(dāng)a=1時,f′(x)=2x+
1
x
.記g(x)=f′(x),其中x∈[1,10].
∵當(dāng)x∈[1,10]時,g′(x)=2-
1
x2
>0
,∴y=g(x)在[1,10]上為增函數(shù),
即y=f′(x)在[1,10]上為增函數(shù).…(12分)
f(10)=2×10+
1
10
=
201
10
,
所以,對任意的x∈[1,10],總有f(x)≤
201
10

所以f'(x1)+f'(x2)+f'(x3)+…+f'(xk)≤k•f(10)=
201
10
k
,
又因為k<100,所以
201
10
k<2010

故在區(qū)間[1,10]上不存在使得f'(x1)+f'(x2)+f'(x3)+…+f'(xk)≥2012成立的k(k<100)個正數(shù)x1,x2,x3…xk.…(14分)
點評:本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想及有限與無限思想.
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1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)
=( 。

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