Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為直角三角形，則棱與底面垂直，如圖所示，D是棱CC₁的中點(diǎn)，且∠ACB=90°，BC=1，AC=

3

，AA₁=

6

（Ⅰ）證明：A₁D⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴BC⊥CC₁，
∵AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．
∵A₁D?平面ACC₁A₁，∴BC⊥A₁D，
而BC∥B₁C₁，則B₁C₁⊥A₁D．
在Rt△ACC₁與Rt△DC₁A₁中，

AC

CC1

=

DC1

AC1

=

2

2

，∴△ACC₁～△DC₁A₁，
∴∠AC₁C=∠DA₁C₁，
∴∠AC₁C+∠C₁DA₁=90°．即A₁D⊥AC₁．
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，
∴A₁D⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）如圖，設(shè)A₁D∩AC₁=H，過A₁作AB₁的垂線，垂足為G，連GH，
∵A₁D⊥平面AB₁C₁，∴AB₁⊥A₁D，∴AB₁⊥平面A₁GH，
∴∠A₁GH為二面角A₁-AB₁-C₁的平面角．
在Rt△AA₁B₁中，AA₁=

6

，A₁B₁=2，
∴AB₁=

10

，
∴由等面積，可得A₁G=

2 15

5

；
在Rt△AA₁C₁中，AA₁=

6

，A₁C₁=

3

，
∴AC₁=3，∴由等面積，可得A₁H=

2

．
∴在Rt△A₁GH中，sin∠A₁GH=

30

6

，
∴cos∠A₁GH=

6

6

，
∴二面角B-AB₁-C₁的余弦值為-

6

6

．