(2010•寶山區(qū)模擬)設F1、F2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點,設橢圓C上的點A(1,
3
2
)到F1、F2兩點距離之和等于4.
(1)寫出橢圓C的方程;
(2)設點K是橢圓上的動點,求 線段F1K的中點的軌跡方程;
(3)求定點P(m,0)(m>0)到橢圓C上點的距離的最小值d(m),并求當最小值為1時m值.
分析:(1)把已知點的坐標代入橢圓方程,再由橢圓的定義知2a=4,從而求出橢圓的方程.
(2)設F1K的中點Q(x,y),則由中點坐標公式得點K(2x+1,2y),把K的坐標代入橢圓方程,化簡即得線段KF1的中點Q的軌跡方程.
(3)利用參數(shù)表示出距離,再利用配方法求最小值.
解答:解:(1)橢圓C的焦點在x軸上,由橢圓上的點A到F1、F2兩點的距離之和是4,得2a=4,即a=2,又點A(1,
3
2
)在橢圓上,因此
1
22
+
(
3
2
)
2
b2
=1
得b2=3,于是c2=1,所以橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
= 1
,
(2)設橢圓C上的動點為K(x1,y1),線段F1K的中點Q(x,y)滿足:x=
-1+x1
2
,y=
y1
2
,即x1=2x+1,y1=2y.因此
(2x+1)2
4
+
(2y)2
3
=1
.即 (x+
1
2
)
2
+
4y2
3
=1
為所求的軌跡方程
(3)設P(2cosθ,
3
sinθ),則|AP|2=(2cosθ-m)2+(
3
sinθ)2=(cosθ-2m)2-3m2+3
∵cosθ∈[-1,1],∴①若0<m<
1
2
時,d(m)=
-3m2+3
;②m≥
1
2
時,d(m)=
(2-m)2

當d(m)=1時,m=1,3.
點評:本題考查橢圓的簡單性質(zhì)、線段的中點公式,以及用代入法求軌跡方程.
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-11

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m
n
<a,⇒ma<na
,(4)m<n<0,⇒
n
m
<1

其中正確的命題有( 。

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2
)2=1
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[0,2
2
]
[0,2
2
]

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1an
(n∈N*)
,則該數(shù)列前26項的和為
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-10

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