Question

【題目】設(shè)x∈R，f（x）= ，若不等式f（x）+f（2x）≤k對(duì)于任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】k≥2
【解析】解：∵f（x）= ，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，0]上為增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)，
且函數(shù)f（2x）在區(qū)間（﹣∞，0]上為增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)，
令F（x）=f（x）+f（2x），
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可得F（x）=f（x）+f（2x）在區(qū)間（﹣∞，0]上為增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)，
故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)F（x）取最大值2，
若不等式f（x）+f（2x）≤k對(duì)于任意的x∈R恒成立，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≥2
所以答案是：k≥2
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握0<a<1時(shí):在定義域上是單調(diào)減函數(shù);a>1時(shí):在定義域上是單調(diào)增函數(shù)．