【題目】定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)滿足f(3)=0,且當(dāng)x>0時(shí),不等式f(x)>﹣xf′(x)恒成立,則函數(shù)g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解析】解:定義在R的奇函數(shù)f(x)滿足:
f(0)=0=f(3)=f(﹣3),
且f(﹣x)=﹣f(x),
又x>0時(shí),f(x)>﹣xf′(x),即f(x)+xf′(x)>0,
∴[xf(x)]'>0,函數(shù)h(x)=xf(x)在x>0時(shí)是增函數(shù),
又h(﹣x)=﹣xf(﹣x)=xf(x),∴h(x)=xf(x)是偶函數(shù);
∴x<0時(shí),h(x)是減函數(shù),結(jié)合函數(shù)的定義域?yàn)镽,且f(0)=f(3)=f(﹣3)=0,
可得函數(shù)y1=xf(x)與y2=﹣lg|x+1|的大致圖象如圖所示,
∴由圖象知,函數(shù)g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè).
故選:C.
由不等式f(x)>﹣xf′(x)在(0,+∞)上恒成立,得到函數(shù)h(x)=xf(x)在x>0時(shí)是增函數(shù),
再由函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)得到h(x)=xf(x)為偶函數(shù),
結(jié)合f(0)=f(3)=f(﹣3)=0,作出兩個(gè)函數(shù)y1=xf(x)與y2=﹣lg|x+1|的大致圖象,即可得出答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖所示,A、B、D是橢圓C的頂點(diǎn),P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),直線DP交x軸于點(diǎn)N,直線AD交BP于點(diǎn)M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明:2m-k為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法,如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例,若輸入n,x的值分別為4,3,則輸出v的值為( )
A.20
B.61
C.183
D.548
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xoy取相同的單位長度,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=2 sinθ.
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)圓C與直線l交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)P坐標(biāo)為(3, ),求|PA|+|PB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù),,且,若不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,對(duì)任意的,恒有成立.
(1)如果為奇函數(shù),求滿足的條件.
(2)在(1)中條件下,若在上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中是真命題的是( )
①“若x2+y2≠0,則x,y不全為零”的否命題 ②“正多邊形都相似”的逆命題
③“若m>0,則x2+x-m=0有實(shí)根”的逆否命題④“若x-是有理數(shù),則x是
無理數(shù)”的逆否命題
A、①②③④ B、①③④ C、②③④ D、①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,若|OB|,|OF2|,|AB|成等比數(shù)列,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F2的最短距離為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)T為直線x=-3上任意一點(diǎn),過F1的直線交橢圓C于點(diǎn)P,Q,且,求的最小值.
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