若對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的任一個(gè)x的值，均有f(x)=f(-x)=-f(x+
π
2
)，對(duì)于下列四個(gè)函數(shù)：
①y=cos2x-cos4x；
②y=sin4x-cos4x；
③y=sin(2x+
π
4
)+cos(2x+
π
4
)；
④y=|tanx|．其中符合已知條件的函數(shù)序號(hào)為
②③
②③
．
分析：①函數(shù)f（x）=cos2x-cos4x，滿足f（x）=f（-x），f（x+
π
2
）=f（x）；
②f（x）=sin4x-cos4x=sin2x-cos2x=-cos2x，滿足f（x）=f（-x），f（x+
π
2
）=-f（x）；
③f(x)=sin(2x+
π
4
)+cos(2x+
π
4
)=
2
sin(2x+
π
2
)=-
2
cos2x，由②知符合條件；
④f（x）=|tanx|，滿足f（x）=f（-x），f（x+
π
2
）=|cotx|≠-f（x），由此可得結(jié)論．
解答：解：①函數(shù)f（x）=cos2x-cos4x，滿足f（x）=f（-x），f（x+
π
2
）=sin2x-sin4x=sin2xcos2x，f（x）=cos2xsin2x，∴f（x+
π
2
）=f（x），故①不符合；
②f（x）=sin4x-cos4x=sin2x-cos2x=-cos2x，滿足f（x）=f（-x），f（x+
π
2
）=-cos（2x+π）=cos2x=-f（x），故②符合；
③f(x)=sin(2x+
π
4
)+cos(2x+
π
4
)=
2
sin(2x+
π
2
)=-
2
cos2x，由②知符合條件；
④f（x）=|tanx|，滿足f（x）=f（-x），f（x+
π
2
）=|cotx|≠-f（x），故④不符合
綜上知，符合已知條件的函數(shù)序號(hào)為②③
故答案為：②③
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是一一驗(yàn)證，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意的x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，那么就稱函數(shù)f（x）是定義域上的“平緩函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平緩函數(shù)”；
（2）若函數(shù)f（x）是閉區(qū)間[0，1]上的“平緩函數(shù)”，且f（0）=f（1）．證明：對(duì)于任意
的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤
12
成立．
（3）設(shè)a、m為實(shí)常數(shù)，m＞0．若f（x）=alnx是區(qū)間[m，+∞）上的“平緩函數(shù)”，試估計(jì)a的取值范圍（用m表示，不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的任意x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，那么就稱函數(shù)f（x）是定義域上的“平緩函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平緩函數(shù)”？
（2）若函數(shù)f（x）是閉區(qū)間[0，1]上的“平緩函數(shù)”，且f（0）=f（1）．證明：對(duì)任意的x，x2∈[0，1]都有|f(x1)-f(x2)|≤
12
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．如果對(duì)于函數(shù)f（x）的所有上界中有一個(gè)最小的上界，就稱其為函數(shù)f（x）的上確界．已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x，g(x)=
1-m•2x
1+m•2x
．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，1]上的上確界T（m）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

若對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的任一個(gè)x的值，均有數(shù)學(xué)公式，對(duì)于下列四個(gè)函數(shù)：
①y=cos2x-cos4x；
②y=sin4x-cos4x；
③數(shù)學(xué)公式；
④y=|tanx|．其中符合已知條件的函數(shù)序號(hào)為_(kāi)_______．

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