如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立,那么就稱函數(shù)f(x)是定義域上的“平緩函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)f(x)=x2-x,x∈[0,1]是否是“平緩函數(shù)”?
(2)若函數(shù)f(x)是閉區(qū)間[0,1]上的“平緩函數(shù)”,且f(0)=f(1).證明:對任意的x,x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤
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分析:(1)只需按照定義作差:|f(x1)-f(x2)|,然后尋求|f(x2)-f(x1)|≤|x2-x1|成立的條件.
(2)利用f(0)=f(1),進(jìn)行適當(dāng)放縮外,注意添項(xiàng)減項(xiàng)的技巧應(yīng)用,即可證得結(jié)論.
解答:(1)解:對于任意x1,x2∈[0,1],有0≤x1+x2≤2,
∴-1≤x1+x2-1≤1,
∴|x1+x2-1|≤1.
∴|f(x1)-f(x2)|=|(x12-x1)-(x22-x2)|=|x1-x2||x1+x2-1|≤|x1-x2|.
∴函數(shù)f(x)=x2-x,x∈[0,1]是“平緩函數(shù)”.
(2)證明:當(dāng)|x1-x2|<
1
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時,由已知得|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|<
1
2

當(dāng)|x1-x2|≥
1
2
時,,x1,x2∈[0,1],不妨設(shè)0≤x1<x2≤1,其中x1-x2
1
2
,
∵f(0)=f(1),
∴|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)|
≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|≤|x1-0|+|1-x2|=x1-x2+1≤-
1
2
+1=
1
2

∴對任意的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤
1
2
.成立.
點(diǎn)評:新定義函數(shù)類型的題目,解答時要先充分理解定義,對式子的處理要靈活,各個式子的內(nèi)在聯(lián)系要充分挖掘出來,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意的x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立,那么就稱函數(shù)f(x)是定義域上的“平緩函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)f(x)=x2-x,x∈[0,1]是否是“平緩函數(shù)”;
(2)若函數(shù)f(x)是閉區(qū)間[0,1]上的“平緩函數(shù)”,且f(0)=f(1).證明:對于任意
的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤
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成立.
(3)設(shè)a、m為實(shí)常數(shù),m>0.若f(x)=alnx是區(qū)間[m,+∞)上的“平緩函數(shù)”,試估計a的取值范圍(用m表示,不必證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

8、如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的兩個自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)≤f(x2),且存在兩個不相等的自變量值y1,y2,使得f(y1)=f(y2),就稱f(x)為定義域上的不嚴(yán)格的增函數(shù),已知函數(shù)g(x)的定義域、值域分別為A、B,A=1,2,3,B⊆A,且g(x)為定義域A上的不嚴(yán)格的增函數(shù),那么這樣的g(x)共有( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x,都有f(x)≥M(M為常數(shù)),稱M為f(x)的下界,下界M中的最大值叫做f(x)的下確界.定義在[1,e]上的函數(shù)f(x)=2x-1+lnx的下確界M=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.如果對于函數(shù)f(x)的所有上界中有一個最小的上界,就稱其為函數(shù)f(x)的上確界.已知函數(shù)f(x)=1+a•(
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)x+(
1
4
)x
,g(x)=
1-m•2x
1+m•2x

(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若m>0,求函數(shù)g(x)在[0,1]上的上確界T(m).

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