【題目】如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,,,為邊長為的等邊三角形,.
(1) 證明:平面 平面;
(2)求二面角的平面角的大。
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)取中點,利用等腰直角三角形可得,連,利用勾股定理可證明 ,結(jié)合可得平面,利用面面垂直的判定定理可得結(jié)果;(2)以為原點,、、分別為軸建立空間直角坐標系,利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面與平面的法向量,由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.
(1)△ACD中,,
由余弦定理可得,,故,
所以,且△ACD為等腰直角三角形.
取CD中點O,由AC=AD得,AO⊥CD
連PO,PA⊥CD,
所以CD⊥平面POA
所以CD⊥PO
又AO=1,PO=1,
所以,,
,
所以PO⊥平面ABCD
又PO平面PCD
所以平面PCD⊥平面ABCD.
(2)以O為原點,OD、OA、OP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系,
則,,,
設平面PAB的法向量,,
令,則,所以
同理,平面PBC的法向量
故,.
所以,二面角A-PB-C的平面角為90°.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù),如22,121,3553等.顯然2位“回文數(shù)”共9個:11,22,33,…,99.現(xiàn)從9個不同2位“回文數(shù)”中任取1個乘以4,其結(jié)果記為X;從9個不同2位“回文數(shù)”中任取2個相加,其結(jié)果記為Y.
(1)求X為“回文數(shù)”的概率;
(2)設隨機變量表示X,Y兩數(shù)中“回文數(shù)”的個數(shù),求的概率分布和數(shù)學期望.
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【題目】已知以點C(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O和點A,與y軸交于點O和點B,其中O為原點.
(1)求證:△OAB的面積為定值;
(2)設直線y=-2x+4與圓C交于點M,N,若OM=ON,求圓C的方程.
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【題目】如圖,四棱錐中,,,,,.
(Ⅰ)求異面直線AB與PD所成角的余弦值;
(Ⅱ)證明:平面平面PBD;
(Ⅲ)求直線DC與平面PBD所成角的正弦值.
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【題目】已知雙曲線的實軸端點分別為,記雙曲線的其中一個焦點為,一個虛軸端點為,若在線段上(不含端點)有且僅有兩個不同的點,使得,則雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】設橢圓中心在坐標原點,是它的兩個頂點,直線與AB相交于點D,與橢圓相交于E、F兩點.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)求四邊形面積的最大值.
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【題目】為建設美麗鄉(xiāng)村,政府欲將一塊長12百米,寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園,園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG(圖中陰影部分).以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系xOy(如圖所示).景觀湖的邊界曲線符合函數(shù)模型.園區(qū)服務中心P在x軸正半軸上,PO=百米.
(1)若在點O和景觀湖邊界曲線上一點M之間修建一條休閑長廊OM,求OM的最短長度;
(2)若在線段DE上設置一園區(qū)出口Q,試確定Q的位置,使通道直線段PQ最短.
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【題目】已知雙曲線方程為.
(1)已知直線與雙曲線交于不同的兩點,且線段的中點在圓上,求的值;
(2)設直線是圓上動點處的切線,與雙曲線交于不同的兩點,證明的大小為定值.
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【題目】數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,設.
(1)數(shù)列是否為等比數(shù)列?證明你的結(jié)論;
(2)設數(shù)列的前項和分別為.若,求數(shù)列的通項公式.
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