如圖,直角三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(-1,0),直角頂點(diǎn)B(0,-
3
)
,頂點(diǎn)C在x軸上.
(1)求△ABC的外接圓M的方程;
(2)設(shè)直線?:y=
m2+1
m
x+
m2+1
m
,(m∈R,m≠0)
,直線?能否與圓M相交?為什么?若能相交,直線?能否將圓M分割成弧長的比值為
1
2
的兩段��?為什么?
分析:(1)由A和B的坐標(biāo)求出直線AB方程的斜率,根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1,由AB與BC垂直,求出直線BC的斜率,由B的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線BC的方程,令y=0求出x的值,確定出點(diǎn)C的坐標(biāo),求出斜邊AC的長即為外接圓的直徑,除以2可得圓的半徑,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出A和C的中點(diǎn)坐標(biāo)即為外接圓的圓心M的坐標(biāo),由求出的圓心M的坐標(biāo)和半徑寫出三角形ABC的外接圓M的方程即可;
(2)把直線l的方程變形可得直線l恒過點(diǎn)A(-1,0),而A在圓周上,故存在直線l可能與圓相交;由基本不等式求出|k|的最小值,利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d,根據(jù)|k|的最小值得出d的最小值,發(fā)現(xiàn)d的最小值大于半徑的一半,從而圓M截直線l所得的弦所對的圓心角小于
3
,故直線l不能將圓M分割成弧長的比值為
1
2
的兩段弧.
解答:解:(1)KAB=
-
3
-0
0-(-1)
=-
3
,∴KBC=
3
3
,
直線BC的方程是y+
3
=
3
3
x,,當(dāng)y=0,得x=3,即點(diǎn)C(3,0),
所以,△ABC的外接圓M的圓心M(1,0),半徑r=2.
圓M的方程是(x-1)2+y2=4;

(2)直線l的方程可化為y=
m2+1
m
(x+1),令k=
m2+1
m
,
則l的方程為y=k(x+1),則直線l恒過圓M上的定點(diǎn)A(-1,0),
則直線l可能與圓相交.
因?yàn)閨m|
1
2
(m2+1),所以|k|=
m2+1
|m|
≥2,,當(dāng)且僅當(dāng)|m|=1時等號成立.
圓心M(1,0)到直線l的距離d=
2|k|
1+k2
.(9分)
由|k|≥2,d=
2|k|
1+k2
=
2
1+
1
k2
4
5
,即d>
r
2

從而圓M截直線l所得的弦所對的圓心角小于
3

所以直線l不能將圓M分割成弧長的比值為
1
2
的兩段�。�12分)
點(diǎn)評:此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識有兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系,中點(diǎn)坐標(biāo)公式,直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),恒過定點(diǎn)的直線方程,點(diǎn)到直線的距離公式,以及基本不等式應(yīng)用,直線與圓相交時,常常利用弦心距,弦的一半以及圓的半徑構(gòu)造直角三角形來解決問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=1,BC=
3
.點(diǎn)M,N分別在邊AB和AC 上(M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合),將△AMN沿MN翻折,△AMN變?yōu)椤鰽′MN,使頂點(diǎn)A′落在邊BC上(A′點(diǎn)和B點(diǎn)不重合).設(shè)∠AMN=θ.
(1)用θ表示∠BA′M和線段AM的長度,并寫出θ的取值范圍;
(2)求線段AN長度的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=1,BC=
3
.點(diǎn)M,N分別在邊AB和AC上(M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合),將△AMN沿MN翻折,△AMN變?yōu)椤鰽'MN,使頂點(diǎn)A'落在邊BC上(A'點(diǎn)和B點(diǎn)不重合).設(shè)∠AMN=θ.
(1)用θ表示線段AM的長度,并寫出θ的取值范圍;
(2)在△AMN中,若
AN
sin∠AMN
=
MA
sin∠ANM
,求線段A'N長度的最小值.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題為選做題,請在下列三題中任選一題作答)
A(《幾何證明選講》選做題).如圖:直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=4,以BC為直徑的圓交邊AC于點(diǎn)D,AD=2,則∠C的大小為
30°
30°

B(《坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講》選做題).已知直線的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
,則點(diǎn)A(2,
4
)到這條直線的距離為
2
2
2
2

C(不等式選講)不等式|x-1|+|x|<3的解集是
(-1,2)
(-1,2)
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•咸陽三模)(考生注意:請在下列三道試題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評閱記分)
A.(不等式選做題)若不等式|2a-1|≤ |x+
1
x
|
對一切非零實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
[-
1
2
,
3
2
]
[-
1
2
3
2
]

B.(幾何證明選做題)如圖,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=4,以BC為直徑的圓交AC邊于點(diǎn)D,AD=2,則∠C的大小為
30°
30°

C.(極坐標(biāo)與參數(shù)方程選做題)若直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-
π
4
)=3
2
,圓C:
x=cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù))上的點(diǎn)到直線l的距離為d,則d的最大值為
3
2
+1
3
2
+1
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖:直角三角形ABC中,AC⊥BC,AB=2,D是AB的中點(diǎn),M是CD上的動點(diǎn).
(1)若M是CD的中點(diǎn),求
MA
MB
的值;
(2)求(
MA
+
MB
)•
MC
的最小值.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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同步練習(xí)冊答案
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