【題目】如圖，四邊形為菱形，且，，，點(diǎn)在面上的投影恰在上，點(diǎn)為中點(diǎn).

（1）求證：為線段的中點(diǎn)；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）過作于，連接，證明點(diǎn)為中點(diǎn).又利用面，證得，結(jié)合條件，即可證明面，從而得到，證明是中位線，即可證明為線段的中點(diǎn)；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面的一個(gè)法向量以及平面的一個(gè)法向量，再求出兩個(gè)法向量的夾角的余弦，通過觀察得二面角與兩法向量夾角相等，則可得結(jié)論..

（1）證明：過作于，連接，

由菱形，，及，

可知，為中點(diǎn)，

面，，

又，面，

面，，

又，，

由為中點(diǎn)，可知，為線段的中點(diǎn)；

（2）以所在直線為軸，以所在直線為軸，

過平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，

設(shè)面的一個(gè)法向量，

，，

，取

設(shè)面的一個(gè)法向量，

，，

，取，

∴，

二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的正半軸重合，曲線的極坐標(biāo)方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.

（1）若，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值和最大值；

（2）直線與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且直線截曲線的弦長(zhǎng)等于，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】國(guó)家正積極推行垃圾分類工作，教育部辦公廳等六部門也發(fā)布了《關(guān)于在學(xué)校推進(jìn)生活垃圾分類管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各學(xué)校生活垃圾分類知識(shí)普及率要達(dá)到100%某市教育主管部門據(jù)此做了“哪些活動(dòng)最能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行垃圾分類”的問卷調(diào)查（每個(gè)受訪者只能在問卷的4個(gè)活動(dòng)中選擇一個(gè)）如圖是調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計(jì)圖，以下結(jié)論正確的是（ 　　）

A.回答該問卷的受訪者中，選擇的（2）和（3）人數(shù)總和比選擇（4）的人數(shù)多

B.回該問卷的受訪者中，選擇“校園外宣傳”的人數(shù)不是最少的

C.回答該問卷的受訪者中，選擇（4）的人數(shù)比選擇（2）的人數(shù)可能多30人

D.回答該問卷的總?cè)藬?shù)不可能是1000人

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD，PD∥AE，PD＝AD＝2EA＝2，G，F，H分別為BE，BP，PC的中點(diǎn)．

（1）求證：平面ABE⊥平面GHF；

（2）求直線GH與平面PBC所成的角θ的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是等腰梯形，且，，，四邊形是矩形，，點(diǎn)為上的一動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：；

（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校準(zhǔn)備采用導(dǎo)師制成立培養(yǎng)各學(xué)科全優(yōu)尖子生培優(yōu)小組，設(shè)想培優(yōu)小組中，每1名學(xué)生需要配備2名理科教師和2名文科教師做導(dǎo)師；設(shè)想培優(yōu)小組中，每1名學(xué)生需要配備3名理科教師和1名文科教師做導(dǎo)師．若學(xué)�，F(xiàn)有14名理科教師和9名文科教師積極支持，則兩培優(yōu)小組能夠成立的學(xué)生人數(shù)和最多是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】寫算，是一種格子乘法，也是筆算乘法的一種，用以區(qū)別籌算與珠算，它由明代數(shù)學(xué)家吳敬在其撰寫的《九章算法比類大全》一書中提出，是從天元式的乘法演變而來．例如計(jì)算，將被乘數(shù)89計(jì)入上行，乘數(shù)65計(jì)入右行．然后以乘數(shù)65的每位數(shù)字乘被乘數(shù)89的每位數(shù)字，將結(jié)果計(jì)入相應(yīng)的格子中，最后從右下方開始按斜行加起來，滿十向上斜行進(jìn)一，如圖，即得5785．類比此法畫出的表格，若從表內(nèi)（表周邊數(shù)據(jù)不算在內(nèi)）任取一數(shù)，則恰取到奇數(shù)的概率是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)調(diào)查防疫期間學(xué)生居家每天鍛煉時(shí)間情況，從高一、高二年級(jí)學(xué)生中分別隨機(jī)抽取100人，由調(diào)查結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：

（Ⅰ）寫出頻率分布直方圖（高一）中的值；記高一、高二學(xué)生100人鍛煉時(shí)間的樣本的方差分別為，，試比較，的大小（只要求寫出結(jié)論）；

（Ⅱ）估計(jì)在高一、高二學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，恰有一人的鍛煉時(shí)間大于20分鐘的概率；

（Ⅲ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，高二學(xué)生鍛煉時(shí)間服從正態(tài)分布．其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，且每名學(xué)生鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立，設(shè)表示從高二學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，其鍛煉時(shí)間位于的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望．

注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,計(jì)算得

②若，則，

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