Question

已知拋物線的焦點為，過任作直線(與軸不平行)交拋物線分別于兩點，點關于軸對稱點為，

（1）求證：直線與軸交點必為定點；

（2）過分別作拋物線的切線，兩條切線交于，求的最小值，并求當取最小值時直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）通過確定直線的方程，證明直線與軸交于定點.

（2）或.

【解析】

試題分析：（1）通過確定直線的方程，證明直線與軸交于定點.

（2）應用導數的幾何意義，確定過點及過點的切線方程并聯(lián)立方程組，確定,，

進一步應用“弦長公式”及均值定理，建立 的方程，確定得到，從而求得直線的方程為：或.

試題解析：設，∵拋物線的焦點為

∴可設直線的方程為：

，消去并整理得：

  4分

,

直線的方程為

∴直線與軸交于定點    7分

（2），∴過點的切線方程為：

即：③，同理可得過點的切線方程為：

④  9分

③—④得：()

∴

③+④得：

  12分

∴,

∴,取等號時，，

直線的方程為：或.  15分

考點：直線與拋物線的位置關系，導數的幾何意義，均值定理的應用.