Question

已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)任作直線(xiàn)(與軸不平行)交拋物線(xiàn)分別于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，

（1）求證：直線(xiàn)與軸交點(diǎn)必為定點(diǎn)；

（2）過(guò)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于，求的最小值，并求當(dāng)取最小值時(shí)直線(xiàn)的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）通過(guò)確定直線(xiàn)的方程，證明直線(xiàn)與軸交于定點(diǎn).

（2）或.

【解析】

試題分析：（1）通過(guò)確定直線(xiàn)的方程，證明直線(xiàn)與軸交于定點(diǎn).

（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定過(guò)點(diǎn)及過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程并聯(lián)立方程組，確定,，

進(jìn)一步應(yīng)用“弦長(zhǎng)公式”及均值定理，建立 的方程，確定得到，從而求得直線(xiàn)的方程為：或.

試題解析：設(shè)，∵拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為

∴可設(shè)直線(xiàn)的方程為：

，消去并整理得：

  4分

,

直線(xiàn)的方程為

∴直線(xiàn)與軸交于定點(diǎn)    7分

（2），∴過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：

即：③，同理可得過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：

④  9分

③—④得：()

∴

③+④得：

  12分

∴,

∴,取等號(hào)時(shí)，，

直線(xiàn)的方程為：或.  15分

考點(diǎn)：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，均值定理的應(yīng)用.