設函數(shù)f(x)＝x|x－a|＋b，求證：f(x)為奇函數(shù)的充要條件是a2＋b2＝0.

證明見試題解析.

解析試題分析：充要條件的證明要分別證明充分性和必要性，.本題充分性是由證明為奇函數(shù)，必要性是由為奇函數(shù)證明.
試題解析：證明充分性：∵a2＋b2＝0，∴a＝b＝0，       2
∴f(x)＝x|x|                  3
∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|，           4
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)        6
必要性：若f(x)為奇函數(shù)，則對一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立     7
即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b恒成立           8
令x＝0，則b＝－b，∴b＝0，            10
令x＝a，則2a|a|＝0，∴a＝0                11
即a2＋b2＝0       12
考點：充要條件

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知，命題函數(shù)在上單調(diào)遞減，命題曲線與軸交于不同的兩點，若為假命題，為真命題，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知命題：方程表示橢圓；：方程表示雙曲線. 若“或”為真，“且” 為假，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設命題；命題：不等式對任意恒成立．若為真，且或為真，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

命題函數(shù)既有極大值又有極小值；
命題直線與圓有公共點.
若命題“或”為真，且命題“且”為假，試求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知方程有兩個不相等的負實根；不等式的解集為.若“∨”為真命題，“∧”為假命題，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

命題：不等式對一切實數(shù)都成立；命題：已知函數(shù)的圖像在點處的切線恰好與直線平行，且在上單調(diào)遞減.若命題或為真，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知命題,且,命題,且.
(Ⅰ)若,求實數(shù)的值；
(Ⅱ)若是的充分條件,求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知條件p: 條件q: 若的充分但不必要條件,求實數(shù)的取值范圍．

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