Question

設F₁、F₂分別為橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點．
（Ⅰ）若橢圓C上的點A（1，）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點，Q（0，），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P在橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為K_PM、K_PN時，那么K_PM與K_PN之積是與點P位置無關的定值．設對雙曲線-=1寫出具有類似特性的性質（不必給出證明）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）若橢圓C上的點A（1，）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，利用橢圓的定義，求出a，b，c 即可得到橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點P的坐標，代入（Ⅰ）中所得橢圓方程，利用Q（0，），求|PQ|的表達式，結合y的范圍即可求出y的最大值；
（Ⅲ）類似橢圓的定義，直接把橢圓換為雙曲線即可得到性質．
解答：解：（Ⅰ）橢圓C的焦點坐標在x軸上，由橢圓上的點A到到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，
得2a=4，即a=2，
又橢圓C上的點A（1，），因此，解得b=，所以c=1，
所以橢圓的標準方程為，F₁、F₂兩焦點坐標為（-1，0），（1，0）．
（Ⅱ）設點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點設（x，y），
則，∴，Q（0，），
=-=，
因為，
∴時，|PQ|的最大值=；
（Ⅲ）類似性質，若M、N是雙曲線雙曲線-=1上關于原點對稱的兩個點，點P在雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為K_PM、K_PN時，那么K_PM與K_PN之積是與點P位置無關的定值．
點評：本題是中檔題，考查橢圓的定義，標準方程的求法，兩點間的距離公式最值的求法，考查計算能力轉化思想的應用．