Question

已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)的圖象C2交于兩點(diǎn)P、Q，過線段PQ的中點(diǎn)R作x軸垂線分別交C1、C2于點(diǎn)M、N，問是否存在點(diǎn)R，使C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線互相平行？若存在，求出點(diǎn)R的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

不存在

【解析】設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，且0＜x2＜x1，則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)均為.

∴C1在點(diǎn)M處的切線斜率為k1＝|x＝＝，

C2在點(diǎn)N處的切線斜率為k2＝ax＋b|x＝＋b，

假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線互相平行，

則k1＝k2，即＋b.

∵P、Q是曲線C1、C2的交點(diǎn)，∴

兩式相減，得lnx1－lnx2＝，

即lnx1－lnx2＝(x1－x2) ，

∴lnx1－lnx2＝，即ln

設(shè)u＝＞1，則lnu＝，u＞1(*)．

令r(u)＝lnu－，u＞1，則r′(u)＝.

∵u＞1，∴r′(u)＞0，∴r(u)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，

故r(u)＞r(1)＝0，則lnu＞，

這與上面(*)相矛盾，所以，故假設(shè)不成立．

故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行．