Question

設(shè)不等式組

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）個(gè)數(shù)為f（n），（n∈N^*）
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表達(dá)式；
（2）記Tn=

f(n)•f(n+1)

2n

，試比較T_n與T_n+1的大�。蝗魧�(duì)于一切的正整數(shù)n，總有T_n≤m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列b_n的前n項(xiàng)的和，其中b_n=2^f（n），問(wèn)是否存在正整數(shù)n，t，使

Sn+tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

成立？若存在，求出正整數(shù)n，t；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）直接把n=1，2代入即可求出f（1），f（2）的值；再把x=1，x=2代入綜合求出f（n）的表達(dá)式；
（2）先利用上面的結(jié)論求出T_n的表達(dá)式，再對(duì)T_n與T_n+1的作商比較，從而求出T_n中的最大值，即可找到滿足T_n≤m時(shí)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）先利用b_n=2^f（n）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出S_n；把S_n代入

Sn+tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

，化簡(jiǎn)得

( 8 7 -t)8n- 8 7

( 8 7 -t)8n- 1 7

＜

1

2

，再分t=1以及t＞1求出其對(duì)應(yīng)的n即可說(shuō)明結(jié)論．

解答：解：（1）f（1）=3，f（2）=6（2分）
當(dāng)x=1時(shí)，y取值為1，2，3，…，2n共有2n個(gè)格點(diǎn)
當(dāng)x=2時(shí)，y取值為1，2，3，…，n共有n個(gè)格點(diǎn)
∴f（n）=n+2n=3n（4分）
（2）由Tn=

f(n)f(n+1)

2n

=

9n(n+1)

2n

則Tn+1=

f(n+1)f(n+2)

2n+1

=

9(n+1)(n+2)

2n+1

?

Tn+1

Tn

=

9(n+1)(n+2) 2n+1

9n(n+1) 2n

=

n+2

2n

（5分）
當(dāng)n=1，2時(shí)，T_n+1≥T_n
當(dāng)n≥3時(shí)，n+2＜2n?T_n+1＜T_n（6分）
∴n=1時(shí)，T₁=9n=2，3時(shí)，T2=T3=

27

2

n≥4時(shí)，T_n＜T₃
∴T_n中的最大值為T2=T3=

27

2

（8分）
要使T_n≤m對(duì)于一切的正整數(shù)n恒成立，
只需

27

2

≤m
∴m≥

27

2

（9分）
（3）bn=2f(n)=23n=8 n?Sn=

8(1-8n)

1-8

=

8

7

(8 n-1)（10分）
將S_n代入

Sn+tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

，化簡(jiǎn)得，

( 8 7 +t)8n- 8 7

( 8 7 -t)8n+1- 8 7

＜

1

16

（﹡）（11分）
若t=1時(shí)，

15 7 ×8n- 8 7

8n+1 7 - 8 7

＜

1

16

?8ⁿ＜

15

29

，顯然不成立，
若t＞1時(shí)，（﹡）式化簡(jiǎn)為(

8

7

-t)8n＞

15

7

不可能成立，
綜上，不存在正整數(shù)n，t使

Sn+tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)列，函數(shù)以及不等式，是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查．解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于求出f（n）的表達(dá)式．