Question

某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為12元/個(gè)的小商品．在4天的試銷中，對(duì)此商品的單價(jià)x（元）與相應(yīng)的日銷量y（個(gè)）作了統(tǒng)計(jì)，其數(shù)據(jù)如表

x	16	20	24	28
y	42	30	18	6

（1）能否找到一種函數(shù)，使它反映y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系？若能，寫出函數(shù)解析式；（提示：可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)后觀察，再從一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等中選擇）
（2）設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為P（元），求P關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)此商品的銷售價(jià)每個(gè)為多少元時(shí)，才能使日銷售利潤(rùn)P取最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由已知數(shù)據(jù)作圖，觀察x，y的關(guān)系，可以看到這些點(diǎn)基本上位于一條直線上，令y=kx+b，里“待定系數(shù)法”即可得到k，b．再驗(yàn)證其余兩個(gè)點(diǎn)即可；
（2）利用（1）可得：利潤(rùn)P=（x-12）•（-3x+90），利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）由已知數(shù)據(jù)作圖，觀察x，y的關(guān)系，可以看到這些點(diǎn)基本上位于一條直線上，
令y=kx+b，
由（16，42），（20，30）可得

42=16k+b    ① 30=20k+b   ②

由②-①得-12=4k，∴k=-3，代入②得b=90．
∴y=-3x+90，
當(dāng)x=24時(shí)，y=18；當(dāng)x=28時(shí)，y=6．
對(duì)照數(shù)據(jù)，可以看到y(tǒng)=-3x+90即為所求解析式；
（2）利用（1）可得：
利潤(rùn)P=（x-12）•（-3x+90）=-3x²+126x-1 080=-3（x-21）²+243．
∵二次函數(shù)開口向下，∴當(dāng)x=21時(shí)，P最大為243．
即每件售價(jià)為21元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為243元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇、一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．