Question

【題目】若橢圓C1： 的離心率等于 ，拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)在橢圓C1的頂點(diǎn)上．
（1）求拋物線C2的方程；
（2）求過點(diǎn)M（﹣1，0）的直線l與拋物線C2交E、F兩點(diǎn)，又過E、F作拋物線C2的切線l1、l2 ， 當(dāng)l1⊥l2時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知橢圓的長半軸為2，半焦距

由離心率等于

∴b2=1∴橢圓的上頂點(diǎn)（0，1）∴拋物線的焦點(diǎn)為（0，1）

∴拋物線的方程為x2=4y

（2）解：由已知，直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），

，∴ ，

∴切線l1，l2的斜率分別為

當(dāng)l1⊥l2時(shí)， ，即x1x2=﹣4

由 得：x2﹣4kx﹣4k=0

∴△=（4k）2﹣4×（﹣4k）＞0解得k＜﹣1或k＞0①

∴x1x2=﹣4k=﹣4，即：k=1

此時(shí)k=1滿足①

∴直線l的方程為x﹣y+1=0

【解析】（1）根據(jù)長半軸是2求出a的值，再表示出半焦距c，根據(jù)離心率的值求出b的值，從而可得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）先根據(jù)題意設(shè)出直線l的方程和點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，然后對拋物線方程進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，進(jìn)而得到切線l1 ， l2的斜率，根據(jù)l1⊥l2可得到x1x2的值，再聯(lián)立直線l與拋物線方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而可表示出兩根之積，再結(jié)合x1x2的值可確定k的值，最后將k的值代入到直線方程即可得到答案．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解一般式方程(直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）)．