Question

過(guò)拋物線y²=4x焦點(diǎn)的直線l的傾斜角為

π

3

，且l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，那么△AOB的面積為

 

．

Answer 1

分析：S△AOB=

1

2

AB×d，其中d為l到AB的距離，或者把△AOB分成△OFA與OFB，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則S△AOB=

1

2

OF|y₁-y₂|．

解答：解：拋物線y²=4x焦點(diǎn)F（1，0），l的方程為y=tan

π

3

（x-1），即y=

3

（x-1），與拋物線方程y²=4x聯(lián)立消去x得y²-

4 3

3

y-4=0，得y²-

4 3

3

y-4=0，則S△AOB=S△OFA+S△OFB=

1

2

OF|y₁-y₂|=

1

2

OF

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

×1×

( 4 3 3 )2-4(-4)

=

4

3

3

．
故答案為：

4

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題三角形借助于拋物線這一特殊背景出現(xiàn)，因此若考慮到拋物線的定義，便會(huì)得出如上的解答過(guò)程．當(dāng)然用S_△AOB=

1

2

AB×d，其中d為l到AB的距離也完全可以．