已知橢圓的離心率為，

軸被拋物線截得的線段長等于的長半軸長.
（1）求的方程；
（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線
與相交于兩點(diǎn)，直線分別與相交于.   
①證明：為定值;
②記的面積為，試把表示成的函數(shù)，并求的最大值.
（1）
（2）利用直線與拋物線以及直線于橢圓聯(lián)立方程組來求解向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積為零來證明垂直。當(dāng)，即時，

試題分析：解：（1）由已知，，      ①           
在中，令，得②
由①②得，
                           
(2)由得
設(shè)，則             
而
  
 
（3）設(shè)在上，
即，，直線方程為：代入， 得，
，同理

由（2）知，，
令，
又在時，為增函數(shù)，，
當(dāng)，即時，
點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是利用拋物線的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)得到方程的求解，以及聯(lián)立方程組來得到坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積為零證明垂直，屬于基礎(chǔ)題。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

動圓過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.設(shè)圓心的軌跡的程為
（1）求；
（2）曲線上的一定點(diǎn)(0) ，方向向量的直線（不過P點(diǎn)）與曲線交與A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA、PB斜率分別為，，計算；
（3）曲線上的兩個定點(diǎn)、，分別過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與曲線交于兩點(diǎn)，求證直線的斜率為定值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（   ）．
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，線段與y軸的交點(diǎn)M滿足
(Ⅰ) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ) 圓O是以為直徑的圓，直線：與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點(diǎn),當(dāng),且滿足時，求直線的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓上的一點(diǎn)到橢圓一個焦點(diǎn)的距離為，則到另一焦點(diǎn)距離為
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：．
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)與兩個定點(diǎn)的距離之比等于5.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；
(2)記(1)中的軌跡為，過點(diǎn)的直線被所截得的線段的長為8，求直線的方程

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)命題p:函數(shù)在上是增函數(shù)；命題q:方程有兩個不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根。求使得pq是真命題的實(shí)數(shù)對為坐標(biāo)的點(diǎn)的軌跡圖形及其面積。

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