Question

在正三棱錐S-ABC中，D是AB的中點，且SD與BC成45°角，則SD與底面ABC所成角的正弦為（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  1

  3

• C、

  3

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

分析：由題意，利用方程的思想，先設(shè)出側(cè)棱長為l，正三棱錐的底邊長為a，利用異面直線所成角的概念及已知的所成角為45°建立l和a的方程，解出棱長l用a表示，在利用直線與平面所成角的概念求出所要求得線面角．

解答：解：由題義畫出以下圖形：由于三棱錐S-ABC為正三棱錐，設(shè)側(cè)棱為l，底面邊長為a，因為D是AB的中點，且SD與BC成45°角，如圖取AC的中點E，因為DE∥BC，所以∠SDE=45°，在直角三角形SDE可以建立l2-

a2

4

+l2-

a2

4

=

a2

4

?l=

3 8

a，在直角三角形SOD中，OD=

3

6

a，SD=

l2- a2 4

 =

3 8 a2- a2 4

=

1 8

a，SO=

1 24

a，所以直線ssssSD與平面ABC所成的線面角即為∠SDO，所以SD與底面ABC所成角的正弦值為sin∠SDO=

SO

SD

=

3

3

，
故答案為：C

點評：此題重點考查了異面直線所成角的概念，還考查了直線與平面所成的線面角的概念及解題過程中方程的解題思想．