Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，PB=PC，AB=1，BC=

2

，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．
（1）求證：AC⊥平面PAB；
（2）當(dāng)平面PDC與底面ABCD所成二面角為

π

3

時，求二面角F-AE-C的大小．

Answer 1

分析：（1）證明AC⊥平面PAB，根據(jù)線面線面垂直的判定定理，即證明AC⊥AB，PA⊥AC，
（2）解法1：確定∠PCA是平面PDC與底面ABCD所成二面角，故∠PCA=

π

3

，分別取AC中點N和AE中點M，連接FN，F(xiàn)M和MN，可證∠FMN為二面角F-AE-C的平面角，在Rt△FMN中，即可求二面角F-AE-C的大小；
解法2：建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量，求出平面PCD的一個法向量與平面ABCD的一個法向量，利用平面PDC與底面ABCD所成二面角為

π

3

，確定PA的長，求出平面FAE的一個法向量，利用

AP

是平面AEC的一個法向量，即可求得二面角F-AE-C的大�。�

解答：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PB的射影是AB，PC的射影是AC，
∵PB=PC，∴AB=AC，∴AB=AC=1，且BC=

2

，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=

π

2

，…（3分）
∴AC⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC，
∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB…（6分）
（2）解法1：由（1）知AC⊥AB，且ABCD是平行四邊形，可知AC⊥CD，
又∵PA⊥平面ABCD，由三垂線定理可知，PC⊥CD，
又∵PC∩AC=C由二面角的平面角的定義可知，∠PCA是平面PDC與底面ABCD所成二面角，故∠PCA=

π

3

，
故在Rt△PAC中，AC=1，∴PA=

3

，PC=2，
從而AF=

1

2

PC=1，EF=

1

2

PB=

1

2

PC=1，
又在Rt△ABC中，AE=

1

2

BC=

2

2

，∴在等腰三角形△FAE，
分別取AC中點N和AE中點M，連接FN，F(xiàn)M和MN，
∴中位線FN∥PA，且PA⊥平面ABCD，∴FN⊥平面ABCD，
在△AEF中，中線FM⊥AE，由三垂線定理知，MN⊥AE，∠FMN為二面角F-AE-C的平面角，
在Rt△FMN中，FN=

1

2

PA=

3

2

，MN=

1

2

EC=

2

4

，tan∠FMN=

FN

MN

=

6

，∠FMN=arctan

6

，
∴二面角F-AE-C的大小為arctan

6

．
解法2：由（Ⅰ）知，以點A為坐標(biāo)原點，以AB、AC、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PA=λ，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，λ），D（-1，1，0），E(

1

2

，

1

2

，0)，F(0，

1

2

，

λ

2

)，則

CP

=(0，-1，λ)，

CD

=(-1，0，0)，

AP

=(0，0，λ)
設(shè)平面PCD的一個法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
則由

n1 • . CD =0 n1 • . CP =0

得

x1=0 y1=λz1

，取

n1

=(0，λ，1)
又

AP

是平面ABCD的一個法向量，
平面PDC與底面ABCD所成二面角為

π

3

cos＜

AP

，

n1

＞=

AP • n1

| AP || n1 |

=

λ

λ λ2+1

=cos

π

3

，
解得λ=

3

，
設(shè)平面FAE的一個法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，
則由

n2 • AE =0 n2 • CP =0

得

x2=-y2 y2=λz2

，取

n2

=(-

3

，

3

，1)．
又

AP

是平面AEC的一個法向量，
設(shè)二面角F-AE-C的平面角為θ，則cos＜

AP

•

n2

＞=

AP • n2

| AP || n2 |

=

3

3 • 7

=

7

7

，
∴cosθ=

7

7

∴θ=arccos

7

7

∴二面角F-AE-C的大小為arccos

7

7

．…（12分）

點評：本題考查線面垂直、面面角，解題的關(guān)鍵是利用線面垂直的判定定理，掌握面面角的求法，傳統(tǒng)方法與向量方法一起運用，注意細(xì)細(xì)體會．