一個三棱柱ABC-A1B1C1直觀圖和三視圖如圖所示(主視圖、俯視圖都是矩形,左視圖是直角三角形),設(shè)E、F分別為AA1和B1C1的中點.

(Ⅰ)求幾何體ABC-A1B1C1的體積;
(Ⅱ)證明:A1F∥平面EBC1;
(Ⅲ)證明:平面EBC⊥平面EB1C1

(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)由題可知,三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,B1B⊥底面ABC,
且底面△ABC是直角三角形,AB⊥BC,,…(2分)
三棱柱ABC-A1B1C1的體積.…(4分)
(Ⅱ)證明:取BC1的中點M,連EM,F(xiàn)M,…(5分)∵E、F分別為AA1和B1C1的中點,∴,,,…(12分)∴四邊形MFA1E為平行四邊形,∴A1F∥EM,…(7分)
又EM?平面EBC1,A1F?平面EBC1,∴A1F∥平面EBC1. …(9分)
(Ⅲ)∵三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,B1B⊥底面ABC,∴BE2=AB2+AE2=2,∴B1E2=A1B12+A1E2=2,又BB1=2,∴BE2+B1E2=BB12,∴BE⊥B1E…(10分)
平面AA1B1B,∴B1C1⊥BE…(12分)
由BE⊥B1E,B1C1⊥BE,B1E∩B1C1=B1,得BE⊥平面EB1C1,
又BE?平面EBC,∴平面EBC⊥平面EB1C1. …(14分)
分析:(Ⅰ)求出幾何體ABC-A1B1C1的高和底面面積,即可求出幾何體的體積;
(Ⅱ)取BC1的中點M,連EM,F(xiàn)M,證明A1F∥EM,說明EM?平面EBC1,A1F?平面EBC1,即可證明A1F∥平面EBC1;
(Ⅲ)證明BE⊥B1E,B1C1⊥BE,B1E∩B1C1=B1,即可證明平面EBC⊥平面EB1C1
點評:本題是中檔題,考查空間幾何體的體積,直線與平面的平行,平面與平面的垂直,考查基本定理的應(yīng)用,考查計算能力,空間想象能力.
練習(xí)冊系列答案
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16、三棱柱ABC-A′B′C′的底面是邊長為1cm 的正三角形,側(cè)面是長方形,側(cè)棱長為4cm,一個小蟲從A點出發(fā)沿表面一圈到達(dá)A′點,則小蟲所行的最短路程為
5
cm.

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已知正三棱柱ABC-A′B′C′的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.設(shè)△ABC,△A′B′C′的中心分別是O,O′,現(xiàn)將此三棱柱繞直線OO′旋轉(zhuǎn),射線OA旋轉(zhuǎn)所成的角為x弧度(x可以取到任意一個實數(shù)),對應(yīng)的俯視圖的面積為S(x),則函數(shù)S(x)的最大值為
8
8
;最小正周期為
π
3
π
3

說明:“三棱柱繞直線OO′旋轉(zhuǎn)”包括逆時針方向和順時針方向,逆時針方向旋轉(zhuǎn)時,OA旋轉(zhuǎn)所成的角為正角,順時針方向旋轉(zhuǎn)時,OA旋轉(zhuǎn)所成的角為負(fù)角.

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已知正三棱柱ABC-A′B′C′的正視圖和側(cè)視圖如圖所示.設(shè)△ABC,△A′B′C′的中心分別是O、O′,現(xiàn)將此三棱柱繞直線OO′旋轉(zhuǎn)(包括逆時針方向和順時針方向),射線OA旋轉(zhuǎn)所成的角為x弧度(x可以取到任意一個實數(shù)),對應(yīng)的俯視圖的面積記為S(x),則函數(shù)S(x)的最大值和最小正周期分別是( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′⊥平面ABC,AB=AC=AA′=2,BC=2
3
,且此三棱柱的各個頂點都在一個球面上,則球的表面積為
20π
20π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

從一個三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點中任取四點,這四點不共面的概率是(  )
A、
1
5
B、
2
5
C、
3
5
D、
4
5

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同步練習(xí)冊答案
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